中班數(shù)學(xué)課件

中班數(shù)學(xué)課件系列。

我非常努力地為您準(zhǔn)備了“中班數(shù)學(xué)課件”希望您喜歡，我們將會持續(xù)為您提供更多的內(nèi)容和服務(wù)希望您能夠多多關(guān)注我們。老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，不過教案課件里知識點(diǎn)要設(shè)計(jì)好。教案是教學(xué)過程中的重要參考。

中班數(shù)學(xué)課件(篇1)

中學(xué)數(shù)學(xué)活動教學(xué)設(shè)計(jì)：學(xué)習(xí)6（第一研究）

教學(xué)目標(biāo)：

1感知6中物體的數(shù)量并識別出數(shù)字6。

2、能夠用6的物體數(shù)量進(jìn)行活動操作。

活動準(zhǔn)備：

物質(zhì)準(zhǔn)備：數(shù)字卡片6，水彩筆、空白卡片紙、串珠、塑料扣環(huán)、禮物盒等，**《生日歌》，**器。

材料配套：教育掛圖，幼兒活動操作材料《科學(xué)*6個(gè)禮物》。

活動過程：

1、觀察發(fā)現(xiàn)“小朋友過生日”掛圖中的物品名稱和數(shù)量。

猜想：小朋友過幾歲生日？從**看出來的？為什么？

觀察：兒童之家準(zhǔn)備了哪些生日禮物？它們的數(shù)量分別是幾？

認(rèn)讀：出示數(shù)字“6”，引導(dǎo)幼兒認(rèn)讀數(shù)字“6”，觀察、想象“6”像什么。

2通過操作材料，可以進(jìn)一步了解6的數(shù)量。

請幼兒完成操作材料《6個(gè)禮物》，教師觀察并針對幼兒的不同情況進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，引導(dǎo)幼兒邊操作邊說“我送了x個(gè)xx給過生日的小朋友”。

小結(jié)：生活中有很多數(shù)量是6的物品，不管它們大小、顏色或者形狀，只要數(shù)量是6的，都可以用數(shù)字“6”來表示。

3、分組操作活動。

為孩子們慶祝生日，介紹操作任務(wù)和要求，并簡要介紹每組操作材料的玩法。

等一組：包裝餅干。把6塊不同形狀的餅干裝進(jìn)一個(gè)小袋子里給孩子們吃。

第二組：畫禮物。在空白的卡紙上畫上6樣物品送給小朋友。

第三組：在盒子內(nèi)裝上不超過6顆的糖果送給小朋友。

小結(jié)：生活中還有很多數(shù)量是6的物品，小朋友們可以繼續(xù)尋找、發(fā)現(xiàn)，并把它們用繪畫的形式記錄下來，帶來和同伴們分享。

4、結(jié)束活動。

**《生日歌》，大家一起唱歌，祝小朋友生日快樂。

活動延伸：

1在美術(shù)區(qū)放幾張卡片和空白卡片，引導(dǎo)孩子們根據(jù)數(shù)字畫物體。

2把玩具魚竿和小魚放在教育區(qū)，讓孩子們進(jìn)行釣魚活動，并數(shù)幾條魚。

三。生活活動：引導(dǎo)孩子數(shù)每組的數(shù)量、杯子和毛巾的數(shù)量，感知數(shù)字在生活中的運(yùn)用。

中班數(shù)學(xué)課件(篇2)

一、聽音樂做思維訓(xùn)練操。

二、新授：通過二次轉(zhuǎn)換，完成對應(yīng)位置的記數(shù)

1、老師給小朋友帶來了四個(gè)扇形果盤，請小朋友看看是什么顏色的？里面住著什么水果寶寶？

2、你們還記得蘋果寶寶是住在什么顏色的果盤里嗎？

3、這兒還有一個(gè)空的果盤，看看它和剛才的果盤有什么不一樣？

顏色標(biāo)記搬家了，那水果寶寶也應(yīng)該搬家，想一想，蘋果寶寶的新家應(yīng)該在哪兒呢？為什么？并用數(shù)字表示水果的數(shù)量再貼到相應(yīng)的顏色家里。

4、師幼共同小結(jié)。

三、小組操作活動

剛才我們已經(jīng)幫助水果寶寶找到家了，現(xiàn)在還有許多小動物也需要你們幫忙找家呢！你們愿意幫忙嗎？看看有哪些小動物？

1、幼兒操作

2、評價(jià)作業(yè)

3、小結(jié)

四、游戲：

先請小朋友從盒子里摸一個(gè)數(shù)字，看看它是數(shù)字幾？然后找找它可以表示哪一種糧食的數(shù)量，最后拿著數(shù)字再站到相對應(yīng)的顏色家里，這樣就表示你幫助小動物們送來了糧食啦！

中班數(shù)學(xué)課件(篇3)

一、計(jì)劃思緒：

梯形是只有一組對邊平行的四邊形，是幼兒所要熟悉的平面圖形中最難明白的一種，尤其是梯形的觀點(diǎn)。是以，中班幼兒熟悉梯形，只要明白梯形的特性，能找出響應(yīng)的圖形即可，不須要求幼兒用說話形貌梯形的特性。我把本運(yùn)動的目的定為：

1、開端明白梯形的特性，并能不受其他圖形的滋擾在種種圖形中找出梯形。

2、熟悉差別的梯形，生長幼兒的不雅察、比力、著手本領(lǐng)。

3、誘發(fā)孩子們進(jìn)修圖形的愛好。

為了更好的舉行講授，我做出以下預(yù)備：

新《綱領(lǐng)》指出“西席應(yīng)當(dāng)成為運(yùn)動的支撐者、互助者、引誘者”。運(yùn)動中西席要心中有目的，眼中有幼兒，不時(shí)有教誨，幼兒園教案以互動的、開放的、研討的理念，讓幼兒真正成為進(jìn)修得主體。是以我接納了操縱法，景象法，互動法，并計(jì)劃游戲情勢，讓幼兒在游戲中進(jìn)修，充實(shí)施展幼兒進(jìn)修的努力性。為了更好地凸起幼兒的主體職位地方，在全部講授歷程中，經(jīng)由過程讓幼兒聽一聽，說一說、做一做等多種情勢，讓幼兒努力動眼、動耳、動腦、動口，引誘幼兒經(jīng)由過程本身的進(jìn)修體驗(yàn)來進(jìn)修新知，努力開展本節(jié)課的講授運(yùn)動。

講堂講授是幼兒數(shù)學(xué)常識的得到、技巧技能的形成、智力、本領(lǐng)的生長以及頭腦品行的養(yǎng)成的重要門路。為了到達(dá)預(yù)期的講授目的，我對全部講授歷程舉行了體系地計(jì)劃，遵照目的性、團(tuán)體性、開導(dǎo)性、主體性等一系列原則舉行講授計(jì)劃。計(jì)劃了四個(gè)重要的講授法式：

1、經(jīng)由過程探求、涂色運(yùn)動讓幼兒開端感知梯形的特性。

讓幼兒找出圖中不是長方形、正方形的圖形并涂上色彩。

因?yàn)樘菪蔚挠^點(diǎn)幼兒不輕易明白幼兒園教育隨筆，以是運(yùn)動計(jì)劃我就不從觀點(diǎn)入手，而讓幼兒經(jīng)由過程操縱運(yùn)動，重復(fù)感覺，漸漸明白梯形的特性。

2、不雅察相識梯形特性。

（1）出示梯形，提問：這個(gè)圖形有幾條邊？幾個(gè)角？你們看，它上面的邊短，下面的邊長，高低兩條邊平平的，旁邊兩條邊斜斜的。這個(gè)圖形像什么？

（3）不外，梯形寶寶可淘氣呢，它一下子翻跟頭，一下子躺下睡覺，你們看如許照舊梯形嗎？（小結(jié)：本來梯形可以倒著放，睡著放，它們都是梯形。）

（4）分離出示直角梯形、等腰梯形，讓幼兒相識它們也是梯形。

提問：這個(gè)一邊可以當(dāng)滑梯的圖形，是不是梯形？這個(gè)雙方有一樣長滑梯的圖形，是不是梯形？

幼兒熟悉梯形的別的一個(gè)難點(diǎn)是梯形的多樣性。幼兒熟悉的特色是先入為主，輕易形成定勢。以是運(yùn)動開端時(shí)就要讓幼兒打仗種種梯形，每個(gè)環(huán)節(jié)中幼兒所看到的、制造的梯形都是種種百般的。

3、經(jīng)由過程再一次的操縱運(yùn)動讓幼兒牢固相識梯形的根基特性。

（1）來了一些小客人，他們說肚子餓了，想吃梯形餅干，小朋友能資助他們嗎？

（2）先請小朋友們從種種外形的餅干中遴選出1塊梯形餅干，舉起來給先生查驗(yàn)。

（3）再選擇2塊差別的梯形餅干，給搭檔查驗(yàn)后喂小客人，并對小客人說：“請吃梯形餅干”。（西席在旁留意查驗(yàn)）

此環(huán)節(jié)是我在講授中故意配置的一個(gè)難點(diǎn)，給小客人喂梯形餅干幼兒得選擇2塊差別的梯形餅干，給搭檔查驗(yàn)后喂小客人，并對小客人說：“請吃梯形餅干”。幼兒手工制作這里必需選擇差別的梯形餅干，對一部門幼兒來說，是須要思索一下的。只有讓幼兒顛末肯定的盡力超過已往才氣從中引發(fā)他們的進(jìn)修愛好，從心底里獲得滿意。

4、經(jīng)由過程探求生存中常見事物中的梯形，加深對梯形特性的熟悉。

（1）讓幼兒在運(yùn)動室四周張貼的圖片中，探求梯形寶寶，先請一名幼兒找找、說說。

（2）勉勵全部幼兒探求梯形，跟搭檔和客人先生說說梯形寶寶藏在那里。

在全部引導(dǎo)歷程中哦注意“三最”：即最大的不雅察（盡力不雅察每位幼兒，制止籠統(tǒng)評價(jià)）；最小的干涉（西席腳色舉行遜位，不干涉替換）；最多的勉勵（勉勵幼兒的點(diǎn)滴前進(jìn)）。

別的，盡力掌握“玩數(shù)學(xué)”的度。不在游戲中銳意地“教”，讓幼兒在游戲中充實(shí)發(fā)泄情緒，感覺愉悅。

這節(jié)課，我經(jīng)由過程四個(gè)環(huán)節(jié)的講授計(jì)劃，既遵照了觀點(diǎn)講授的紀(jì)律，又切合幼兒的認(rèn)知特色，引導(dǎo)幼兒不雅察、游戲，操縱，獲取新知；同時(shí)注意造就幼兒的頭腦和各項(xiàng)本領(lǐng)。在講授歷程中讓幼兒動口、著手、動眼、動腦為主的進(jìn)修要領(lǐng)，使幼兒學(xué)有愛好、學(xué)有所獲。

中班數(shù)學(xué)課件(篇4)

一、設(shè)計(jì)意圖

這個(gè)活動聯(lián)系兒童的實(shí)際生活，在兒童生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用身邊的.事物與現(xiàn)象作為對象，引導(dǎo)兒童對身邊常見的事物和現(xiàn)象的特點(diǎn)，變化規(guī)律產(chǎn)生興趣，為兒童創(chuàng)設(shè)寬松的環(huán)境，提供可操作的材料，讓兒童在以前學(xué)的數(shù)字的基礎(chǔ)上，能夠把圖形與數(shù)字聯(lián)系起來，學(xué)會尋找圖形中的數(shù)字，同時(shí)達(dá)到了鞏固的效果，所以這篇教材適合中班小朋友學(xué)習(xí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

這篇教案主要是讓兒童學(xué)會看圖數(shù)數(shù)尋找號碼，并且能夠比較每組數(shù)字間的不同處與相同處，按老師要求編號碼，這是教學(xué)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1．通過圖形與數(shù)字匹配，鞏固對7以內(nèi)數(shù)字的認(rèn)識。

2．引導(dǎo)兒童感受數(shù)字的豐富變化，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)字的排列規(guī)律，提高兒童

的觀察能力。

3．通過游戲的形式，體驗(yàn)參與活動的樂趣。

四、教學(xué)準(zhǔn)備

1．幾何圖形組合若干，小動物圖片。

2．?dāng)?shù)字卡片。白色紙條、糨糊。

3．12只電話機(jī)。

活動過程

一、看圖找電話號碼

1．“冬季運(yùn)動會就要開始了，老師想邀請小動物也參加，那用什么方法通知它們呢？”

2．“打電話需要電話號碼，你們知道小動物家的電話號碼嗎？”老師這里有

不過和我們見過的號碼不一樣，需要你們在圖形中來找小動物家的電話號碼。

3．幼師分別出示圖形卡，引導(dǎo)兒童看圖形，通過圖形尋找電話號碼。

（這部分主要是根據(jù)兒童平時(shí)的一些生活經(jīng)驗(yàn)，知道需要用電話來通知，由

于兒童對圖形已經(jīng)非常熟悉，所以我又通過圖形，以小動物為名讓兒童從中找出數(shù)字，有一定的趣味性，，這樣兒童的學(xué)習(xí)興趣會更濃厚些）

二、觀察數(shù)字，感知數(shù)字的豐富變化

1．你們在這些號碼中發(fā)現(xiàn)了什么秘密？

2．這些電話這些號碼有什么不一樣？（數(shù)字排列順序不一樣）

（讓兒童知道數(shù)字排列的順序不同，排出來的號碼也是不同的。這里我讓兒童自己觀察，自己發(fā)現(xiàn)，充分體現(xiàn)了兒童的自主性。）

3．“數(shù)數(shù)電話號碼有幾位數(shù)字呢？”（都是7位數(shù)的號碼）

（這部分主要是根據(jù)兒童在認(rèn)識數(shù)字的基礎(chǔ)上，幼師從旁引導(dǎo)，讓兒童觀察比較這三組數(shù)字的變化，激發(fā)了兒童的探究欲望。這里我就采用了集體教學(xué)，讓每個(gè)孩子都有表達(dá)的機(jī)會。）

三、創(chuàng)編號碼

1．“有許多小動物家都沒有電話號碼，我們用數(shù)字來幫它們編個(gè)電話號碼吧！”

（這環(huán)節(jié)主要是讓兒童已經(jīng)感知到數(shù)字豐富變化的基礎(chǔ)上，讓他們動手嘗試

排號碼）。

2．幼師交代要求：用7個(gè)不同的數(shù)字編電話號碼。

3．幼師巡視、指導(dǎo)，并請兒童上來念一念編的號碼。（我請兒童個(gè)別講述，可以讓其他兒童幫助檢驗(yàn)，同時(shí)也鞏固了兒童對數(shù)字的認(rèn)知）

四、游戲打電話

1．有了這些電話號碼我們可以干什么呢？

2．交代游戲要求：那我們來玩一個(gè)打電話的游戲，兩個(gè)小朋友一部電話機(jī)，一個(gè)小朋友撥電話，一個(gè)小朋友看看他撥的號碼對不對，也可以交換號碼來撥。

（這部分是以游戲?yàn)橹?，利用兒童對身邊常見事物的特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，并讓兒童來玩打電話的游戲，在認(rèn)識數(shù)字的基礎(chǔ)上，正確撥打電話號碼，這樣的環(huán)節(jié)增加了趣味性，孩子就不會感到枯燥，同時(shí)我又提出打電話的要求，兩個(gè)小朋友一部電話機(jī)，相互撥打?qū)Ψ骄幍奶柎a，主要是為了讓兒童鞏固對數(shù)字的認(rèn)識與操作，也能讓孩子感到生活的有趣。）

五、延伸活動

“電話號碼上的數(shù)字非常有趣，其實(shí)在生活中還有許多有趣的數(shù)字，請小朋友一起去找一找生活中有趣的數(shù)字。”

中班數(shù)學(xué)課件(篇5)

設(shè)計(jì)理念：

數(shù)字無處不在，它們的存在也給我們的生活帶來了很多的方便，數(shù)字在不同的地方代表著不同的意思。根據(jù)幼兒年齡特點(diǎn)，我以猜數(shù)字的游戲?qū)爰ぐl(fā)幼兒學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)幼兒在猜猜、找找、說說、玩玩、畫畫中進(jìn)一步鞏固對數(shù)字的認(rèn)識，了解數(shù)字在日常生活中的作用，體驗(yàn)數(shù)字的重要和有趣，從而激發(fā)幼兒探索數(shù)字奧秘的興趣，培養(yǎng)幼兒積極關(guān)注身邊事物的情感態(tài)度。

活動目標(biāo)：

1、初步感受生活中的數(shù)字體驗(yàn)數(shù)字的意義，知道數(shù)字無處不在。

2、運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行游戲活動，從中體驗(yàn)活動的樂趣。

3、激發(fā)幼兒對數(shù)字的興趣,培養(yǎng)幼兒積極關(guān)注身邊事物的情感態(tài)度。

活動重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)生活中的熟悉，知道數(shù)字代表的意思，感知數(shù)字無處不在。

活動難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行游戲活動，體驗(yàn)游戲的快樂和數(shù)字的有趣。

活動準(zhǔn)備：多媒體課件、幼兒人手一支筆、一份記錄紙

設(shè)計(jì)意圖：用"猜數(shù)字游戲"導(dǎo)入激發(fā)幼兒學(xué)習(xí)興趣。

利用課件，展示生活中有數(shù)字的部分圖片，引導(dǎo)幼兒進(jìn)一步感知數(shù)字在生活中的運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)字的重要。

通過對數(shù)字的變形，變成有趣的動物和交通工區(qū)，體現(xiàn)數(shù)字的趣味性。

通過之前幾個(gè)圖片的觀察，讓幼兒自己想象，并用數(shù)字做出有趣的畫，感受數(shù)字的有趣。

活動過程：

一、猜想數(shù)字、激發(fā)興趣。

1、出示PPT空白表格師：你知道上面有幾個(gè)格子嗎？

2、出示PPT2師：在每個(gè)格子里藏著不同的數(shù)字寶寶，我們邊看邊猜他們分別是數(shù)字幾？

師：在猜數(shù)字寶寶之前呢，先要記住這句話，從0-9的數(shù)，一個(gè)一個(gè)的數(shù)，才會發(fā)現(xiàn)少的數(shù)字。

3、給數(shù)字排隊(duì)師：看一下這十個(gè)數(shù)字寶寶里，哪個(gè)最大，哪個(gè)最?。?/p>

師：你能給這幾個(gè)數(shù)字寶寶排一排隊(duì)嗎？從小到大怎么排，從大到小怎么排？

師：有沒有其他的排法嗎？

4、教師出示PPT師：你知道這些數(shù)字是怎么排的嗎？

二、數(shù)字代表的意思

1、師：這十個(gè)數(shù)字寶寶是我們平時(shí)看到聽到和感受到的數(shù)字，你在生活當(dāng)中什么地方見到過這些數(shù)字呢？

師：馬路上有數(shù)字嗎？家里有數(shù)字嗎？

2、出示PPT師：為什么上面有數(shù)字，都是干什么用的？

師：生活中到處有數(shù)字，不同的數(shù)字代表不同的意思，你回去再去找找看，下次告訴我。

三、有趣的數(shù)字

1、出示PPT小雞，師：看，這是什么？數(shù)字3怎么了？怎么變？除了數(shù)字3還有幾？

2、出示圖片冰淇淋，師：這又有那些數(shù)字寶寶呢，他們怎么了？

3、出示圖片魔術(shù)師師：這次的圖片，老師0-9每個(gè)數(shù)字寶寶用了一次，你能把它們都找出來嗎？記住0-9一個(gè)一個(gè)的數(shù)，你就會發(fā)現(xiàn)不見的數(shù)字哦。

四、游戲數(shù)字、體驗(yàn)有趣

1、師：數(shù)字寶寶可以做成那么多好玩的東西，現(xiàn)在要請你們自己動動手，動動腦筋來畫一畫。

2、出示PPT師：你可以照著老師畫畫，你也可以自己想，要用到數(shù)字寶寶哦。

3、教師評價(jià)欣賞。

中班數(shù)學(xué)課件(篇6)

設(shè)計(jì)意圖

在幼兒的生活中時(shí)時(shí)能捕捉到數(shù)學(xué)的影子，幼兒對數(shù)學(xué)的感知也是建立在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。為此開展了《小貓釣魚》活動。在生活中尋找數(shù)學(xué)教育的素材，有利于幼兒構(gòu)建連續(xù)、完整的數(shù)學(xué)知識體系。幼兒的學(xué)習(xí)是一個(gè)日積月累的過程，在貼近幼兒生活的數(shù)學(xué)教育中，幼兒已有的知識經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭麄儗π轮R進(jìn)行同化和順應(yīng)，為幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供廣泛的基礎(chǔ)；在生活中尋找數(shù)學(xué)教育的素材，有利于幼兒產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

游戲目的

1、訓(xùn)練幼兒點(diǎn)數(shù)的能力以及知道在1的基礎(chǔ)上添上1是2，再添上1是3，再添上1是4；

2、訓(xùn)練幼兒的觀察力、注意力以及準(zhǔn)確的判斷力。

游戲內(nèi)容

1、家長先要準(zhǔn)備好小貓釣魚的玩具一套。

2、家長告訴幼兒。"你今天扮演小貓，看看你能釣多少條魚？"幼兒拿起釣桿開始釣魚（這種玩具是一直轉(zhuǎn)動的，而且魚的嘴巴一張一合，可以鍛煉幼兒）當(dāng)幼兒釣到一條時(shí)，家長就問"釣到幾條？"幼兒會回答"1"條。當(dāng)幼兒再釣到一條魚時(shí)，家長說"一條與再添上一條魚是幾條？"幼兒回答"2條"。第三條時(shí)引導(dǎo)幼兒說出"2條魚再添上一條魚是3條魚"當(dāng)幼兒釣到第4條魚時(shí)，家長問幼兒：一共釣了幾條魚？并且讓幼兒仔細(xì)數(shù)釣到魚的個(gè)數(shù)，說出總數(shù)，"3條魚加上1條魚是4條魚"。

游戲指導(dǎo)

1、幼兒釣魚時(shí)，家長要鼓勵幼兒不慌不忙的釣魚，鍛煉耐心。對于釣不到魚的幼兒，家長可以手把手的幫助。

2、幼兒在達(dá)到游戲目標(biāo)時(shí)，若有興趣，把魚放在里面重新進(jìn)行。

活動反思

活動中幼兒思維還是很活躍的，參與積極性比較高。針對中班幼兒的認(rèn)知特點(diǎn)和他們天真浪漫，愛說愛動，及對自己的行為約束力差，注意力容易分散的特性。活動關(guān)鍵在于采取多種形式培養(yǎng)幼兒的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)孩子主動學(xué)習(xí)的積極性。如果老師能夠讓孩子們一上學(xué)就感受到學(xué)習(xí)的樂趣，從小培養(yǎng)起他們的強(qiáng)烈的求知欲、良好的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，對孩子們來說，將受益匪淺。

數(shù)學(xué)活動“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從幼兒已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)……數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在幼兒的已知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。數(shù)學(xué)活動中教師要能及時(shí)肯定他們在生活中善于觀察的好習(xí)慣，培養(yǎng)幼兒有一雙“用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛”。

中班數(shù)學(xué)課件(篇7)

活動目標(biāo)：

1、區(qū)分自己身體的左右，分清自己的左邊和右邊。

2、在游戲活動中，感知“左”、“右”的空間方位，發(fā)展初步的位置觀念。

活動過程：

一、感知自身的左右

1、區(qū)別左右

小結(jié)：對呀，左手，右手是我們身上的一對好朋友，只有左手和右手的相互配合才能把事情做的更好更快。

2、找一找

教師：想一想，我們的身上，還有哪些象手一樣，是一左一右的一對好朋友

3、游戲"我說你做"

教師：剛才小朋友找的又快又好，現(xiàn)在老師要請我們身上的這些好朋友做個(gè)游戲，這個(gè)游戲就叫"我說你做"，看誰的小耳朵最靈，反應(yīng)最快。

舉起右手，聳聳左肩，跺跺左腳，拍拍右腿，摸摸左耳；增加難度：左手摸左耳，右手摸左耳，左手拍右腿等等??【W(wǎng)WW.277433.cOM 正能量句子】

二、探索交流，熟悉左右的相對性：

1、有幾只小動物？最左邊是誰？最右邊是誰？

2、從左邊數(shù)起，第3個(gè)是誰？

3、從右邊數(shù)起，第2個(gè)是誰？

4、小貓排在第幾個(gè)？（可以從左，也可以從右看）

5、小狗的左邊是誰？右邊是誰？

總結(jié)：我們看的標(biāo)準(zhǔn)不同，左右方向也不同。

中班數(shù)學(xué)課件(篇8)

（一）、創(chuàng)設(shè)情景導(dǎo)入課題，引導(dǎo)幼兒感知春天的特征，復(fù)習(xí)10以內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。

師：孩子們，現(xiàn)在是什么季節(jié)？

師：美麗的春天來了，誰知道春天都有哪些美麗的景色？

師：春天來了，春姑娘還給小朋友們帶來了一幅美麗的圖畫，請看大屏幕，看上面有什么？它們的數(shù)量是幾？

（二）、播放課件，啟發(fā)幼兒觀察感知10以內(nèi)物品的數(shù)量及守恒。

1、排除物體大小的干擾，正確感知數(shù)的守恒。

師：春姑娘還帶來了什么？出示課件（花）什么花？（桃花）

師：請小朋友觀察這兩排桃花，有哪些不同？（大、?。?/p>

大桃花有幾朵？小桃花有幾朵？是不是一樣多？都用數(shù)字幾來表示？

教師小結(jié)："盡管他們大小不同，但數(shù)量相同，都可以用數(shù)字5來表示。

2、排除物體排列方式的干擾，正確感知數(shù)的守恒。

師：春天來了，天氣漸漸變暖和了，小燕子從南方飛回來了，出示課件，飛來幾只小燕子？（數(shù)完后，出示數(shù)字10）它們排著什么隊(duì)形飛來的？

師：（一橫排）小燕子飛呀飛呀，飛成什么隊(duì)形了？（半圓形）數(shù)一數(shù)，小燕子的數(shù)量變了嗎？它們發(fā)生了什么變化？（隊(duì)形變了，但數(shù)量沒變，出示數(shù)字10），小燕子繼續(xù)飛呀飛呀，又飛成什么圖形？（三角形），提問內(nèi)容形式同上。

教師小結(jié)：盡管它們的排列方式發(fā)生變化，但都可以用數(shù)字10來表示？

（三）、玩一玩，做一做：進(jìn)一步體驗(yàn)10以內(nèi)物品數(shù)量的守恒。

1、游戲：小燕子變隊(duì)形，體驗(yàn)物體的數(shù)量與物體排列方式無關(guān)。

師：你們想不想玩小燕子變隊(duì)形的游戲？幼兒分兩組玩小燕子變變變的游戲。大家邊說兒歌，幼兒邊變隊(duì)形，形式無論怎樣變，幼兒人數(shù)始終不變。

2、拼擺圖形卡片，體驗(yàn)物體的數(shù)量與大小、排列方式無關(guān)。

師：剛才小朋友變隊(duì)形變得真好，春姑娘為小朋友帶來的好玩的禮物，你們看是什么？（圖形卡片）

師：小朋友都會用圖形卡片拼擺好看的圖案，老師把小朋友分四組，每組卡片都不一樣，看看哪組的小朋友拼擺的圖案最漂亮（注：每位幼兒最多用10張卡片）。完成之后，幼兒欣賞每組的作品，猜一猜是什么圖案？用的圖形卡片的數(shù)量是多少？尋找數(shù)量相同，但是圖案不同的圖形。

教師小結(jié)："盡管它們的排列方式不同，但圖形卡片的數(shù)量不變。

教學(xué)反思：

新課程的理念是讓每個(gè)幼兒都能在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展?；顒又?，我緊緊把握這個(gè)理念，使幼兒在積極愉快的氣氛中以游戲的形式，讓幼兒輕松地認(rèn)識、理解了學(xué)習(xí)內(nèi)容。剛開始，我用了分禮物導(dǎo)入，先讓幼兒對10以內(nèi)的數(shù)有一個(gè)初步的認(rèn)識。這個(gè)方法還不錯，幼兒都能跟上我的節(jié)奏。接下來我出示了事先準(zhǔn)備的小圓點(diǎn)，讓幼兒玩擊鼓游戲，幼兒也基本上都能擊正確。并且，課上的氣氛也是很活躍的，發(fā)言也很積極，見得幼兒對看圖片數(shù)圓點(diǎn)還是感興趣的。較好地達(dá)到了預(yù)期設(shè)計(jì)的活動目標(biāo)。

中班數(shù)學(xué)課件(篇9)

活動目標(biāo)：

1、引導(dǎo)幼兒學(xué)習(xí)自由排序，讓幼兒在自由的探索活動中，嘗試和發(fā)現(xiàn)不同的排序方法，并體驗(yàn)排序活動的樂趣。

2、發(fā)展幼兒的發(fā)散性思維，培養(yǎng)幼兒的探索精神。

3、了解排序與我們的生活密切相關(guān)，并學(xué)習(xí)將排序的知識運(yùn)用到日常生活中。

活動準(zhǔn)備：

大小不同的盒子小瓷磚貼條

活動過程：

一：今天，我們來到了米老鼠的家里來做客，米老鼠他別高興，他給我們帶來了禮物盒，引入主題

二：1、老師展示盒子——大盒子里面套小盒子

師：讓幼兒按箭頭的方向把盒子擺一擺

按從大到小的順序——按從小到大的順序

2、第二份禮物——瓷磚

師：讓幼兒按照規(guī)律把瓷磚裝飾到房子上

瓷磚什么地方一樣？什么地方不一樣？

幼兒：都是正方形顏色不一樣大小一樣

師：可以按什么樣的規(guī)律排？

幼兒：三個(gè)黃三個(gè)紅四個(gè)黃四個(gè)紅…..

三：動手操作

讓幼兒到桌子旁，按貼條上的箭頭有規(guī)律的貼瓷磚

四：請幼兒把貼好的瓷磚裝飾到房子上，讓幼兒說一說自己是按什么規(guī)律排的

五：第三份禮物——帽子

請幼兒每人戴一頂帽子，記住自己的顏色

師：可以按什么規(guī)律排呢？

幼兒：紅——黃——藍(lán)

黃——藍(lán)——紅

聽老師的口令按箭頭方向排列

活動延伸：

根據(jù)帽子的眼色按規(guī)律排好隊(duì)，旅行去啦，結(jié)束

YJS21.cOm更多幼師資料小編推薦

找因數(shù)課件系列

俗話說，做什么事都要有計(jì)劃和準(zhǔn)備。在日常的學(xué)習(xí)工作中，幼兒園教師都會提前準(zhǔn)備一些能用到的資料。資料可以指人事物的相關(guān)多類信息、情報(bào)。資料可以幫助我們更高效地完成各項(xiàng)工作。你知不知道我們常見的幼師資料有哪些呢？以下是由小編為大家整理的“找因數(shù)課件系列”，歡迎你閱讀與收藏。

找因數(shù)課件(篇1)

教學(xué)內(nèi)容：

青島版數(shù)學(xué)四年級下冊第七單元分?jǐn)?shù)加減法信息窗一

教學(xué)目標(biāo)：

1、在合作探究活動中了解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義，能用列舉法和短除法找出100以內(nèi)兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

2、會在集合圖中表示兩個(gè)數(shù)的因數(shù)和它們的公因數(shù)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3、在探索公因數(shù)和最大公因數(shù)意義的過程中，經(jīng)歷列舉、觀察、歸納等數(shù)學(xué)活動，進(jìn)一步發(fā)展初步的推理能力。感受數(shù)學(xué)思考的條理性，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義，掌握求兩個(gè)數(shù)公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

理解用短除法求最大公因數(shù)的算理。

評價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)：

1、教師對學(xué)生能夠利用列舉法、短除法找公因數(shù)和最大公因數(shù)學(xué)習(xí)情況的評價(jià)。

2、教師對學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中體會數(shù)形結(jié)合思想的評價(jià)。

3、教師對學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動的評價(jià)，及時(shí)評價(jià)不同水平的學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動的實(shí)際表現(xiàn)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：昨天，老師布置了這樣一項(xiàng)課前作業(yè)。

師：誰能拿著你的作業(yè)到前面來說一說你是怎樣分的？（指名答）

師：這個(gè)同學(xué)把自己的想法表達(dá)的非常清楚，我們再來看看他是怎么分的。（課件演示）

問：還有不同分法嗎？（生答師演示）

預(yù)設(shè)：匯報(bào)出錯，比如4厘米——師引導(dǎo)觀察：如果用邊長4厘米的小正方形來分的話，長可以分幾個(gè)呢？這樣還能不能把長方形正好分完呢？

師：其他同學(xué)還有不同意見嗎？

同位互相看一看各自是怎樣分的，交流一下自己的想法！

二、認(rèn)識公因數(shù)和最大公因數(shù)

1、教學(xué)公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義，總結(jié)列舉法

師：通過研究我們發(fā)現(xiàn)，小正方形的邊長可以是1厘米、2厘米、3厘米或者是6厘米，最多是幾厘米呢？

師：這些小正方形的邊長1、2、3、6與長方形的長24和寬18之間有什么關(guān)系啊？

生：1、2、3、6是18的因數(shù)也是24的因數(shù)。

師：我們把18和24的因數(shù)都找出來，對比著看一看吧！

師：誰能快速找出18的因數(shù)？24的因數(shù)又有哪些呢？（指名說）

師：對比觀察18和24的因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們的因數(shù)中都有1、2、3、6、

師：看來，這和我們剛才的想法是一樣的，1、2、3、6既是18的因數(shù)，也是24的因數(shù)，我們就把1、2、3、6叫做18和24的公因數(shù)。

師：公因數(shù)中哪個(gè)最大??？生：6最大

師：我們就把6叫做18和24的最大公因數(shù)。

師：其實(shí)在前面的課前作業(yè)中，小正方形的邊長就是長方形長與寬的公因數(shù)。今天這節(jié)課，我們就來研究公因數(shù)和最大公因數(shù)。

師：剛才我們分別列舉出了18和24的因數(shù)，又找出它們的公因數(shù)和最大公因數(shù)，這種找公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法叫列舉法?！景鍟毫信e法】

2、教學(xué)集合圈

師：為了讓大家更直觀的看出它們的關(guān)系，我們還可以用集合圈的形式表示出來。

24的因數(shù)

18的因數(shù)

【課件出示】

123612346

91881224

師：左邊的集合圈表示的.是18的因數(shù)，右邊的集合圈表示的是24的因數(shù)、因?yàn)樗鼈冇泄驍?shù)1、2、3、6，所以我們就把兩個(gè)集合圈合在一起。

問1：現(xiàn)在你知道左邊這一部分表示的什么嗎？（指名答）

右邊這一部分呢？大家一起說！兩個(gè)集合圈相交的部分呢？左半部分又表示什么呢？大家一起說右半部分表示的什么？

師：下面請同位互相說一說集合圈中每一部分表示什么。

師小結(jié)。

師：現(xiàn)在給你一個(gè)集合圈你會填了嗎？

師：看到這道題你能不能直接填呢？那應(yīng)該先怎么辦？

生：先找到16和28的因數(shù)和公因數(shù)，再填集合圈。

師：請同學(xué)們先在作業(yè)紙上列舉出16和28的因數(shù)，再填集合圈。

（生獨(dú)立完成，師巡視）

展示與評價(jià)

師：誰來說一說你是怎么填的？（指名匯報(bào)）

給大家說說你先填的什么？又填的什么？

指名說一說，及時(shí)評價(jià)。

師：我們再來看看這位同學(xué)的作業(yè)。

師：同位互相檢查一下，不對的改正過來。

三、認(rèn)識短除法

1、講解短除法

師：同學(xué)們，除了用列舉法找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。還有一種方法也能找出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，但是需要你用心觀察才能發(fā)現(xiàn)，你們愿意接受挑戰(zhàn)嗎？

師：請大家先把18和24分解質(zhì)因數(shù)。

師：誰來說說你分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果？

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察這兩個(gè)式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們都有質(zhì)因數(shù)2和3、

師：18和24公有的質(zhì)因數(shù)2和3與它們的最大公因數(shù)6之間有什么關(guān)系呢？生：2乘3等于6

師：根據(jù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)我們就可以把兩個(gè)短除式合并在一起，用短除法來求18和24的最大公因數(shù)。

師邊板書邊講解……

師：最后把所有的除數(shù)連乘起來，就能得到18和24的最大公因數(shù)了。

問：現(xiàn)在誰能說說我們是怎樣用短除法求18和24的最大公因數(shù)呢？（指名學(xué)生說一說）

2、練一練

師：下面請你用這種方法求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，快速的完成在你的作業(yè)紙上！

師：誰來說說你是怎么做的？（指名學(xué)生展示匯報(bào)）

問：你認(rèn)為他做的怎么樣？

四、練習(xí)與應(yīng)用

1、練一練（蘇教版P27T1）

師：接下來你能用今天所學(xué)的知識解決下面這個(gè)問題嗎？（課件出示）把它完成在你的作業(yè)紙上！

展示匯報(bào)

師：我們在找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)的時(shí)候，除了列舉法和短除法以外，我們還可以用這種方法（課件演示、介紹）

2、扎花束

師：同學(xué)們！春季運(yùn)動會馬上就要到了，學(xué)?；ㄊ?duì)買來了兩種顏色的花準(zhǔn)備來扎花束。（課件出示，師讀題目要求）

問：同學(xué)們想一想這道題其實(shí)在求什么？

師：選擇自己喜歡的方法把它完成在練習(xí)本上。

問：大家一起告訴我最多能扎多少束？這樣每一束花里面有幾朵紅花？幾朵黃花呢？

2、數(shù)學(xué)知識

師：同學(xué)們！早在很久以前，我國古代的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)在研究我們今天所學(xué)的知識了！

五、課堂總結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

找因數(shù)課件(篇2)

一、教學(xué)目標(biāo)

理解質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)的意義，并會用一種方法或自己喜歡的方法分解質(zhì)因數(shù)。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：分解質(zhì)因數(shù)

難點(diǎn)：準(zhǔn)確分解

三、預(yù)計(jì)教學(xué)時(shí)間：

1節(jié)

四、教學(xué)活動

（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練

【口答】

什么是質(zhì)數(shù)？什么是合數(shù)？1是什么？

【解答題】

下面各數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？把你判斷的填在指定的圈里。

19，21，43，67，27，37，41，51，57，69，83，87，81，91

質(zhì)數(shù)、合數(shù)

（二）新知學(xué)習(xí)

引入：今天，我們學(xué)習(xí)合數(shù)與質(zhì)數(shù)之間關(guān)系

揭示課題——分解質(zhì)因數(shù)

【典型例題】

合數(shù)

1。看合數(shù)21

（1）有多少個(gè)因數(shù)？并寫出：1、3、7、21

（2）回到今天討論的問題是合數(shù)與質(zhì)數(shù)之間的關(guān)系，排除1和它本身21，即1×21=21。

（3）只剩下研究3×7=21的問題，表示成21=3×7。那么，3和7叫做21的質(zhì)因數(shù)

（4）質(zhì)因數(shù)與因數(shù)的分別？（也就是1和合數(shù)做質(zhì)因數(shù)，也就是分解質(zhì)因數(shù)中不能有1和合數(shù)；什么數(shù)都可以做因數(shù)）

2。研究討論合數(shù)的分解方法。

（1）“樹枝”圖式分解法。

（2）“短除法”分解質(zhì)因數(shù)。

3。把27，51，57，87，81分解質(zhì)因數(shù)

【小結(jié)】（分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，你認(rèn)為應(yīng)注意什么？）

（三）鞏固練習(xí)（10題）

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1。判斷下面的橫式哪些是分解質(zhì)因數(shù)？哪些不是？理由？

24=2×2×6、6=1×2×3、60=2×2×3×5

2。把分解不正確的改正過來。

【提高練習(xí)】

把16，12，45，56分解質(zhì)因數(shù)。

【拓展練習(xí)】

把下面各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并分別寫出它們所有的因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)、因數(shù)

15、15=

18、18=

20、20=

找因數(shù)課件(篇3)

《最大公因數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材來源：小學(xué)五年級《數(shù)學(xué)》教科書/人民教育出版社

內(nèi)容來源：小學(xué)五年級數(shù)學(xué)（下冊）第四單元

主題：最大公因數(shù)

課時(shí)：共14課時(shí)，第10課時(shí)

授課對象：五年級學(xué)生

設(shè)計(jì)者：朱麗娟/中牟縣商都路小學(xué)

目標(biāo)確定的依據(jù)

1.課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容目標(biāo)中的相關(guān)要求

能準(zhǔn)確判斷約分的結(jié)果是不是最簡分?jǐn)?shù)。

2.教材分析

教材之前已經(jīng)引入過分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、公因數(shù)和最大公因數(shù)，已經(jīng)對本節(jié)課做了很好的鋪墊。

3.學(xué)情分析

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并且學(xué)生對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)掌握的很好，本節(jié)是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)入約分，學(xué)生理解起來就相對來說很簡單，順理成章。

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組合作交流，使學(xué)生掌握約分的方法，并能夠正確、熟練的進(jìn)行約分。

2、通過學(xué)-教-導(dǎo)的問題解決的過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流解決問題的能力，讓學(xué)生感悟到合作學(xué)習(xí)的魅力。

評價(jià)任務(wù)

任務(wù)1：理解約分和最簡分?jǐn)?shù)的意義，掌握約分的方法。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)

學(xué)生的學(xué)

教師的教

評價(jià)要點(diǎn)

動態(tài)修改

環(huán)節(jié)一

復(fù)習(xí)導(dǎo)入

學(xué)生獨(dú)立完成。

1寫出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。

15和12（）48和56（）

2在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)

====

教師追問：你們這樣填的依據(jù)是什么？

學(xué)生能做對這些題，并回憶起分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

環(huán)節(jié)二

探究新知，及時(shí)檢測。

學(xué)生分組交流、討論

教師提問:A,有一個(gè)分?jǐn)?shù)24/30,你能不能找到與它大小相等,而分子分母又比它的分子分母小的分?jǐn)?shù)

學(xué)生能夠找出12/158/104/5

跟老師一起認(rèn)識約分

板書:24/30=(24÷2)/(30÷2)=12/15

12/15=(12÷3)/(15÷3)=4/5

像這樣，把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

教師提問：找到4/5以后為什么不繼續(xù)找了？

教師陳述：4/5的分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)。

學(xué)生能夠理解約分和最簡分?jǐn)?shù)的概念。

學(xué)生獨(dú)立做題。最簡分?jǐn)?shù)有：15/1610/2117/3031/916/11

教師出示課件：你知道下面哪些數(shù)是最簡分?jǐn)?shù)？

15/1610/2117/30

20/4531/914/18

6/119/15

教師提問：什么是最簡分?jǐn)?shù)？

給出一些分?jǐn)?shù)，學(xué)生能找出哪些是最簡分?jǐn)?shù)。

學(xué)生獨(dú)立完成12/30約分

12/30約分

環(huán)節(jié)三

實(shí)踐運(yùn)用

1,p113.1

2,找出最簡分?jǐn)?shù).[課件4]

2/36/89/125/65/1821/2834/51

找因數(shù)課件(篇4)

各位老師大家好！

今天我說課的題目是蘇教版教材五年級上冊《公因數(shù)和最大公因數(shù)》。

分析教材

本課是蘇教版教材五年級上冊第三單元《公倍數(shù)和公因數(shù)》中的內(nèi)容。在四年級（下冊）教材里，學(xué)生已經(jīng)建立了倍數(shù)和因數(shù)的概念，會找10以內(nèi)自然數(shù)的倍數(shù)，100以內(nèi)自然數(shù)的因數(shù)。本單元繼續(xù)教學(xué)倍數(shù)和因數(shù)的知識，要理解公倍數(shù)、最小公倍數(shù)和公因數(shù)、最大公因數(shù)的意義，學(xué)會找兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的方法。為以后進(jìn)行通分、約分和分?jǐn)?shù)四則計(jì)算作準(zhǔn)備。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“動手操作、自主探索、合作交流”，結(jié)合教材的特點(diǎn)，我力求達(dá)到下面的教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的過程，理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。探索找公因數(shù)的方法，會正確找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

2、結(jié)合具體實(shí)例，滲透集合思想，培養(yǎng)學(xué)生有序思考的能力，讓學(xué)生養(yǎng)成不重復(fù)、不遺漏、不重復(fù)的思考習(xí)慣。

3、培養(yǎng)學(xué)生能用自己的語言表述自己的發(fā)現(xiàn)，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題的能力。

依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和教學(xué)目標(biāo)，我確定本課教學(xué)重點(diǎn)是理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義，教學(xué)難點(diǎn)是會求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

設(shè)計(jì)理念

在教學(xué)中我發(fā)揮“教師是學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的作用， 激發(fā)學(xué)生興趣、引導(dǎo)學(xué)生自己探索。學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，讓學(xué)生在玩中學(xué)、學(xué)中玩，合作交流中學(xué)、學(xué)后合作交流并根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)識基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，并結(jié)合“以學(xué)生的發(fā)展為本“的理念, 力求突出以下三點(diǎn)：

1、將教學(xué)內(nèi)容活動化，讓學(xué)生在做中學(xué)。

2、采用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在交往互動中學(xué)。

3、充分利用原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在遷移中學(xué)。

教學(xué)過程

依據(jù)教材特點(diǎn)及小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和發(fā)展水平，整個(gè)教學(xué)過程安排了四個(gè)環(huán)節(jié)：

一、 活動探究，認(rèn)識公因數(shù)

分為五個(gè)步驟：

1、動手操作：在教學(xué)公因數(shù)的概念時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作思考的過程，認(rèn)識公因數(shù)。首先讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的小長方形紙片，分別用邊長6厘米和邊長4厘米的正方形紙片鋪滿一個(gè)長18厘米、寬12浪漫的的長方形操作活動。通過學(xué)生的操作，引導(dǎo)學(xué)生觀察正方形的邊長與長方形的長、寬之間的關(guān)系，讓學(xué)生看看正方形每條邊各鋪了幾次？怎樣用算式表示？，來說明為什么？

2、想象延伸：接下來讓學(xué)生思考還有那些邊長是整厘米數(shù)的正方形也能鋪滿大長方形。學(xué)生思考后，回答邊長是1厘米，2厘米，3厘米的正方形也能鋪滿大長方形。引導(dǎo)學(xué)生說出只要邊長“既是”18的因數(shù)“又是”12的因數(shù)，就能鋪滿大長方形。從而引出公倍數(shù)的概念，再強(qiáng)調(diào)因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，所以兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)也是有限的（最小是1），讓學(xué)生在自主參與、發(fā)現(xiàn)、歸納的基礎(chǔ)上認(rèn)識并建立公因數(shù)的概念的過程。

3、歸納總結(jié)：只要正方形的邊長既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)，這樣的正方形就能鋪滿大長方形。1、2、3、6既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)，它們就是12和18的公因數(shù)。

4、根據(jù) 學(xué)生的總結(jié)我及時(shí)板書課題，讓學(xué)生的形象思維轉(zhuǎn)變成抽象思維。

5、反例教學(xué)：讓學(xué)生說明4是12和18的公因數(shù)嗎？為什么？

學(xué)生通過上面的一正一反教學(xué)總結(jié)出：公因數(shù)要同時(shí)是兩個(gè)數(shù)的因數(shù)。

為了及時(shí)鞏固，完成練一練：先讓學(xué)生在圖上畫一畫，找出公因數(shù)和最大因數(shù)，填寫在書上。

（設(shè)計(jì)目的：通過具體的操作和交流活動，幫助學(xué)生理解公因數(shù)，使知識不在枯燥無。讓學(xué)生到感受成功的喜悅。）

二、自主探索，求最大公因數(shù)：

學(xué)生在已經(jīng)掌握公因數(shù)概念的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)習(xí)怎樣找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)，學(xué)以致用。教學(xué)例4時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索解決問題的方法，然后小組交流。通過具體的運(yùn)用，鞏固公因數(shù)的概念。讓學(xué)生說說怎樣找12和18的公因數(shù)，學(xué)生可能說三種方法，一是先找12的因數(shù)，從12的因數(shù)中找18的因數(shù)；二是先找18的因數(shù)，再從中找出12 的因數(shù)，三是分別找出12和18的因數(shù)，再找出相同的因數(shù)。通過比較三種方法，讓學(xué)生感受哪種方法比較簡捷。在此基礎(chǔ)上，揭示最大公因數(shù)的含義，并介紹用集合圈的形式來表示12和18的公因數(shù)和最大公因數(shù)，明確集合圖中省略號的作用。

（設(shè)計(jì)目的：通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)，弄清怎樣用集合圖來表示兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)。幫助學(xué)生更加直觀地理解概念，感受數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性。）

三、 綜合實(shí)踐、學(xué)以致用

為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源與生活，用與生活的理念我設(shè)計(jì)三個(gè)層次的練習(xí)：

首先設(shè)計(jì)關(guān)于公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念判斷題，進(jìn)一步讓學(xué)生對公因數(shù)和最大公因數(shù)的認(rèn)識。做到知識和技能融為一體。

接著讓學(xué)生完成練習(xí)五第1題。學(xué)生獨(dú)立完成后交流。

然后分別完成2、3題。小組交流。

（練習(xí)的設(shè)計(jì)是從認(rèn)識到理解，再到拓展應(yīng)用，逐層加深，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和合作意識，教學(xué)由課內(nèi)到課外延伸，增加運(yùn)用實(shí)踐機(jī)會。）

四、全課小結(jié)、過程回顧

這節(jié)課我們認(rèn)識了兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)，說說你掌握的方法。

學(xué)生回憶整堂課所學(xué)知識。學(xué)生通過這一環(huán)節(jié)可以將整個(gè)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧、按一定的線索梳理新知，形成整體印象，便于知識的理解記憶。

找因數(shù)課件(篇5)

教學(xué)內(nèi)容：北師大版五年級數(shù)學(xué)上冊第三單元《找因數(shù)》

教學(xué)目標(biāo)：1、在用小正方形拼長方形的活動中，體會找一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，提高有條理思考的習(xí)慣和能力。

2、在1--100的自然數(shù)中，能找到一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：用小正方形拼長方形的活動中，體會找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法.

教學(xué)難點(diǎn)：體會找一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，能準(zhǔn)確、有條理的找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

教具準(zhǔn)備：課件、小正方形。格子紙。

教學(xué)方法：通過動手操作與觀察討論、分析、比較、歸納。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了倍數(shù)和因數(shù)的知識，我想考考大家，你們接受挑戰(zhàn)嗎？

一起來看大屏幕

出示課件：根據(jù)下列算式說說誰是誰的倍數(shù)？誰是誰的因數(shù)？

6×5=30 24÷3=8

12÷1=12 3×5=15

誰來大聲讀一讀題目，你們會嗎？誰來說第一題？

師生互動，共同解決。

通過這一組的練習(xí)，我感覺同學(xué)們掌握知識還是不錯的，那么今天呀，我們就一起來學(xué)習(xí)找因數(shù)

板書課題:找因數(shù)

二、探究新知

同學(xué)們,你們平時(shí)喜歡玩拼圖游戲嗎？那今天這節(jié)課我們就先玩一個(gè)拼圖游戲，用你手中的小正方形來拼長方形，我們一起來看看有什么活動要求。

出示大屏幕：

用12個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形，有哪幾種拼法？在方格紙上畫一畫，并用算式表示。

以小組為單位，開始吧！

1、學(xué)生：用12個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形

教師巡視，指導(dǎo)學(xué)生

師：把你拼的長方形在方格紙上畫出來。

下面我們一起來交流一下吧！

學(xué)生邊匯報(bào)，邊到前面進(jìn)行演示

看一下能拼出幾種長方形？

你是怎樣拼的，說說好嗎？

你又是怎樣畫的呢？

學(xué)生邊匯報(bào)，邊到前面進(jìn)行演示

畫出三種長方形。（因?yàn)樾螤钜粯樱皇俏恢煤头较蜃兞耍?/p>

2、找一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法。

師：同學(xué)們用12個(gè)小正方形擺出了三種長方形，你能把這些擺法用算式寫出來嗎？

1×12=12 2×6=12 3×4=12

你能找出12的全部因數(shù)嗎？

同桌討論交流

指名回答，然后問你是怎樣找的？

生：用乘法口訣一對一對找的。

誰乘誰等于12，這兩個(gè)乘數(shù)就是12的因數(shù)。

師：為了不重復(fù)、不遺漏，還應(yīng)按一定的順序排列起來。

誰能按從小到大的順序說出來？

師板書：12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12。

誰來說一說：12的因數(shù)和拼成的長方形有什么關(guān)系呢？

拼長方形的方法就是找12的全部因數(shù)的方法。

3、我們還可以利用除法算式找一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)

師：當(dāng)被除數(shù)是12時(shí)，你能想到哪幾道除法算式？

學(xué)生思考，交流，指名回答

師板書：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4

12÷12=1，12÷6=2，12÷4=3

能找到12的全部因數(shù)嗎？你是怎樣想的？

引導(dǎo)學(xué)生說出只要算到12÷4=3出現(xiàn)重復(fù)就不要再算了。

誰能按順序說出來？

12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12。

練習(xí)：找出18的全部因數(shù)，同桌相互交流

匯報(bào)，你是怎樣想的？

18的因數(shù)有：1，2，3，6，9，18。

生1：利用乘法算式一對一對的找，兩個(gè)乘數(shù)重復(fù)了就不再往下找了。生2：利用除法算式找時(shí)，除數(shù)和商重復(fù)時(shí)就找全了一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

4：小結(jié)：怎樣找一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)呢?

找一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)：用乘法算式，可以利用乘法口訣一對一對的找，也可以用除法算式，一對一對的找，并且要有順序的找，這樣既不重復(fù)，又不遺漏。

三、鞏固練習(xí)

1、師：剛才我們已經(jīng)學(xué)會了用小正方形拼長方形，然后從中找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)，下面我們共同看38面的第1題。

在課本上畫長方形，使得它的面積是16平方厘米，邊長是整厘米數(shù)。(每個(gè)小方格的邊長是1cm)

全班齊練，展示作品，訂正

1×16=16 2×8=16 4×4＝16

16的因數(shù)：1，2，4，8，16。

2、第2題：寫出24的全部因數(shù)，并說一說你是怎么找的？

24的全部因數(shù)：

3、第3題：填一填，獨(dú)立完成，完成后集體交流想法

四、總結(jié)：這節(jié)課有什么收獲？

五、作業(yè)：課下思考練一練的第4、5題

板書設(shè)計(jì)：

找因數(shù)

1×12=12 2×6=12 3×4=12

12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12

12÷1=12 12÷2=6 12÷3=4

12的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12

找因數(shù)課件(篇6)

師：在寫12的因數(shù)時(shí)，我們可以一對一對的寫，（課件出示： 1、12、2、6、3、4. ）也可以從兩頭開始寫（板書：1、2、3、4、6、12.）找全了畫一個(gè)句號。

3、過渡：12的因數(shù)我們已經(jīng)會找了，那么你能用學(xué)到的知識找到18的因數(shù)嗎？試一試，看誰能挑戰(zhàn)成功！

學(xué)生嘗試，獨(dú)立在本上完成。

教師巡視，找出幾個(gè)問題學(xué)生和完全寫對的學(xué)生的作業(yè)，在視頻臺上展示。

學(xué)生說如何找全的方法，強(qiáng)化“有序”“一對一對的找”。

學(xué)生在學(xué)號紙上獨(dú)立完成，指名板演2的因數(shù)，24的因數(shù)，25的因數(shù)，1的因數(shù)。

做完的同學(xué)，互相檢查糾錯。

師：誰剛才幫別人找到錯誤了？（評價(jià)：你已經(jīng)熟練的掌握了找因數(shù)的方法，真棒！還有誰是最棒的？祝賀你們）

師：現(xiàn)在我們來看這些數(shù)的因數(shù)，個(gè)數(shù)有多有少，最少的是誰？（“1”）最大最小都是它自己?！?”的最小因數(shù)是幾？最大因數(shù)是幾？誰還能像老師這樣說一說？

學(xué)生說出“24”和“25”的最小因數(shù)和最大因數(shù)各是多少。

通過找這些數(shù)的因數(shù)，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生回答：一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。

其他同學(xué)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自己檢驗(yàn)，并用彩筆圈起來。

小結(jié)：雖然一個(gè)數(shù)，它因數(shù)的個(gè)數(shù)有多有少，但最小的因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。1的因數(shù)只有1。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的因數(shù)有最大和最小，所以個(gè)數(shù)是有限的。（板書在表格里）。

四、找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

1、過渡：我們已經(jīng)學(xué)會了找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)呢？你能像找一個(gè)數(shù)的因數(shù)那樣有序的找嗎？相信這個(gè)問題也一定難不倒大家，咱們先來試一個(gè)簡單的，找2的倍數(shù)，看你能找多少個(gè)。

2、學(xué)生獨(dú)立找，找好后在小組中交流。

3、匯報(bào)展示，交流方法。

引導(dǎo)：你能按從小到大的順序找2的倍數(shù)嗎？能寫得完嗎？怎么辦？

明確方法：用2分別乘1、2、3、4……得到的積都是2的倍數(shù)。

4、表示方法：2的倍數(shù)有2，4，6，8，10，…（一般寫完前5個(gè)，就可以用省略號表示）；集合圖。

5、寫出自己學(xué)號的倍數(shù)。

學(xué)生獨(dú)立完成，指名兩生板演（3的倍數(shù)，5的倍數(shù)，1的倍數(shù)），糾正錯誤。

交流匯報(bào)：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)，個(gè)數(shù)是無限的。

找因數(shù)課件(篇7)

教材直接呈現(xiàn)了找公因數(shù)的一般方法：先用想乘法算式的方式分別找出12和18的因數(shù)，再找出公因數(shù)和最大公因數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引出公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念。教材用集合的方式呈現(xiàn)探索的過程。在練習(xí)1、2中引出了用因數(shù)關(guān)系、互質(zhì)數(shù)關(guān)系找最大公因數(shù)，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法并會運(yùn)用。

本冊一單元，學(xué)生已經(jīng)理解了因數(shù)和倍數(shù)的意義，能用乘法算式、集合等方式列舉出一個(gè)數(shù)的因數(shù)。因此用列舉法找最大公因數(shù)沒有困難。而利用因數(shù)關(guān)系、互質(zhì)數(shù)關(guān)系找還有一定的難度。因?yàn)閷W(xué)生不易發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)具有這些關(guān)系。

1、探索找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的方法，會用列舉法找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。

2、經(jīng)歷找兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的過程，理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。

3、通過觀察、分析、歸納等數(shù)學(xué)活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學(xué)思考的'條理性。

教學(xué)關(guān)鍵：用列舉法找出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，然后有序地篩選出公因數(shù)。

教學(xué)時(shí)，教師先讓學(xué)生自己分別找出12和18的因數(shù)，并交流找因數(shù)的方法。再讓學(xué)生將這些因數(shù)填入兩個(gè)相交的集合。引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)思考的問題是：兩個(gè)集合相交的部分填哪些因數(shù)？這時(shí)要組織學(xué)生展開討論，引導(dǎo)學(xué)生理解“兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)是他們的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)是它們的最大公因數(shù)。”當(dāng)學(xué)生練習(xí)時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用因數(shù)關(guān)系和互質(zhì)數(shù)關(guān)系找最大公因數(shù)。學(xué)生對本課知識熟練掌握后，再補(bǔ)充用短除法找最大公因數(shù)。

（1）師：除了3和4是12的因數(shù)，12的因數(shù)還有哪些？

師：在這兩個(gè)圈里，應(yīng)該填上什么數(shù)？請大家完成正在書45頁上。

生做后匯報(bào)師板書于圈中。

（2）師：請大家找一找在12和18的因數(shù)中，有沒有相同的因數(shù)，相同的因數(shù)有哪幾個(gè)。

師：像這樣，既是12的因數(shù)，又是18的因數(shù)，我們就說這些數(shù)都是12和18的公因數(shù)。

師：6就是12和18的最大公因數(shù)。這就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容——找最大公因數(shù)。

匯報(bào)：中間區(qū)域是12的因數(shù)和18的因數(shù)的交叉區(qū)域，所填的數(shù)應(yīng)該既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)，也就是12和18的公因數(shù)填在這里。

找因數(shù)課件(篇8)

一、教學(xué)過程：

（一）動手操作，感受并認(rèn)識因數(shù)與倍數(shù)。

1、老師和同學(xué)們都在課前準(zhǔn)備了幾個(gè)小正方形，如果用這些小正方形拼成一個(gè)長方形，可以怎么拼？（讓學(xué)生獨(dú)立拼擺）

2、全班交流，請學(xué)生上黑板拼一拼，拼法用乘法算式表示出來。

指出：有三種拼法，列出三個(gè)不同的乘法算式，今天我們研究的內(nèi)容就藏在著三個(gè)算式中。

3、教師選擇一個(gè)算式指出4×3=12，4是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，看這個(gè)算式還可以說：誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)嗎？

4、揭示課題：倍數(shù)和因數(shù)。

5、看其他兩個(gè)算式，你還能說什么嗎？你覺得哪個(gè)算式給你的感覺有些特別？

6、自己寫一個(gè)乘法算式，讓你的同桌說一說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，選一些特殊的例子：如0×8=0的形式16÷2=8。辨析：能不能說16是倍數(shù)，2是因數(shù)。

7、完成想想做做（1）。

8、完成想想做做（2）。（交流：應(yīng)付元數(shù)與4元有什么關(guān)系？省略號表示什么意思？從這個(gè)省略好你知道了什么？）

9、想想做做（3）。（從中發(fā)現(xiàn)了什么？24有那些因數(shù)？最大的是幾？最小的是幾？）

（二）找倍數(shù)和因數(shù)。

1、找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)（讓學(xué)生自己在紙上寫，然后交流：你是怎么找的？）

提問：

（1）3的最小的倍數(shù)是幾？最大的呢？

（2）3的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)，那么該怎么表示？

2、完成試一試。

反思：怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)比較方便？一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是幾？找得到最大的倍數(shù)嗎？

3、找一個(gè)數(shù)的因數(shù)。

先讓學(xué)生獨(dú)立找36的因數(shù)，再進(jìn)行交流。

提問：36最小的因數(shù)是幾？最大的呢？怎樣找才能保證不重復(fù)不遺漏？對好的方法及時(shí)的給以肯定。

完成試一試

4、提問：15的最小因數(shù)是幾？最大的因數(shù)是幾？16呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

5、鞏固練習(xí)：

（1）4的倍數(shù)有：

（2）25以內(nèi)4的倍數(shù)有：

（3）30的因數(shù)有：

（4）15的因數(shù)有：

（三）課堂小結(jié)：略。

（四）作業(yè)布置：

1、6的倍數(shù)有：

2、7的倍數(shù)有：

3、100以內(nèi)9的倍數(shù)有：

4、24的因數(shù)有：

5、11的因數(shù)有：

二、教學(xué)反思：

本節(jié)課重點(diǎn)圍繞“理解倍數(shù)和因數(shù)的含義，能按要求找出一個(gè)數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)”進(jìn)行教學(xué)。在寫一個(gè)數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，在相互交流時(shí)，得出最優(yōu)的方法，在探索倍數(shù)和因數(shù)的規(guī)律時(shí)，既不能讓學(xué)生毫無目的的去探究，也不能把這個(gè)結(jié)論直接告訴學(xué)生。

先出示一些具體的數(shù)，從這些具體的數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，起到了較好的效果。在探究一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法時(shí)，先在前面孕伏著除法中也有倍數(shù)和因數(shù)，為探究一個(gè)數(shù)的因數(shù)埋下了伏筆。這個(gè)方法要比倍數(shù)的方法難一些，教師要有耐心，把學(xué)生的方法全部板書在黑板上，然后通過比較，發(fā)現(xiàn)商也是這個(gè)數(shù)因數(shù)，又發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的因數(shù)，是成隊(duì)出現(xiàn)的，所以怎樣做到既不重復(fù)，又不遺漏，就要有序思考，與前面學(xué)過的找規(guī)律的方法有機(jī)地聯(lián)系在一起。

數(shù)列的課件(系列15篇)

每個(gè)老師都需要在課前準(zhǔn)備好自己的教案課件，本學(xué)期又到了寫教案課件的時(shí)候了。寫好教案，才能讓課堂教學(xué)更完整，怎樣的教案課件算為優(yōu)秀？這份特別挑選的“數(shù)列的課件”一定值得您一試，請收藏這個(gè)網(wǎng)頁方便你下次再來查看！

數(shù)列的課件(篇1)

教學(xué)準(zhǔn)備

教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：使學(xué)生掌握等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的一些簡單性質(zhì)，并能運(yùn)用定義及通項(xiàng)公式解決一些實(shí)際問題。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)運(yùn)用歸納類比的方法發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力及運(yùn)用方程的思想的計(jì)算能力。

德育目標(biāo)：培養(yǎng)積極動腦的學(xué)習(xí)作風(fēng)，在數(shù)學(xué)觀念上增強(qiáng)應(yīng)用意識，在個(gè)性品質(zhì)上培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其簡單應(yīng)用，其解決辦法是歸納、類比。

本節(jié)難點(diǎn)是對等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式的深刻理解，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于緊扣定義，另外，靈活應(yīng)用定義、公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題也是一個(gè)難點(diǎn)。

教學(xué)過程

二、教法與學(xué)法分析

為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，本節(jié)課主要采用觀察、分析、類比、歸納的方法，讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)，將學(xué)生置于主體位置，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，將知識的形成過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生親自探索類比歸納的過程，使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感。在這個(gè)過程中，力求把握好以下幾點(diǎn)：

①通過實(shí)例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。讓學(xué)生在問題情景中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，力求使學(xué)生學(xué)會用類比的思想去看待問題。②營造民主的教學(xué)氛圍，把握好師生的情感交流，使學(xué)生參與教學(xué)全過程，讓學(xué)生唱主角，老師任導(dǎo)演。③力求反饋的全面性、及時(shí)性。通過精心設(shè)計(jì)的提問，讓學(xué)生思維動起來，針對學(xué)生回答的問題，老師進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)控。④給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，不急于把結(jié)果拋給學(xué)生，讓學(xué)生自己去觀察、分析、類比得出結(jié)果，老師點(diǎn)評，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)生的推理能力。⑤以啟迪思維為核心，啟發(fā)有度，留有余地，導(dǎo)而弗牽，牽而弗達(dá)。這樣做增加了學(xué)生的參與機(jī)會，增強(qiáng)學(xué)生的參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑和思考問題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和能力。

三、教學(xué)程序設(shè)計(jì)

(4)等差中項(xiàng)：如果a 、 A 、 b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。

說明：通過復(fù)習(xí)等差數(shù)列的相關(guān)知識，類比學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，用熟知的等差數(shù)列內(nèi)容來分散本節(jié)課的難點(diǎn)。

2.導(dǎo)入新課

本章引言中關(guān)于在國際象棋棋盤各格子里放麥粒的問題中，各個(gè)格子的麥粒數(shù)依次是:

1 , 2 , 4 , 8 , … , 263

再來看兩個(gè)數(shù)列：

5 ， 25 ，125 ， 625 ， ...

···

說明：引導(dǎo)學(xué)生通過“觀察、分析、歸納”，類比等差數(shù)列的定義得出等比數(shù)列的定義，為進(jìn)一步理解定義，給出下面的問題：

判定以下數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是寫出公比q，若不是，說出理由，然后回答下面問題。

-1 , -2 , -4 , -8 …

-1 , 2 , -4 , 8 …

-1 , -1 , -1 , -1 …

1 , 0 , 1 , 0 …

提出問題：(1)公比q能否為零?為什么?首項(xiàng)a1呢?

(2)公比q=1時(shí)是什么數(shù)列?

(3)q>0是遞增數(shù)列嗎?q

說明：通過師生問答，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性及學(xué)習(xí)熱情，活躍課堂氣氛，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和臨場應(yīng)變能力。另外通過趣味性的問題，來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式的強(qiáng)烈欲望。

3.嘗試推導(dǎo)通項(xiàng)公式

讓學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)推出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

推導(dǎo)方法：疊乘法。

說明：學(xué)生從方法一中學(xué)會從特殊到一般的方法，并從次數(shù)中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力;另外回憶等差數(shù)列的特點(diǎn)，并類比到等比數(shù)列中來，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力及將新知識轉(zhuǎn)化到舊知識的能力。方法二是讓學(xué)生掌握“疊乘”的思路。

4.探索等比數(shù)列的圖像

等差數(shù)列的圖像可以看成是直線上一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的，觀察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，你能得出什么結(jié)果?它的圖像如何?

變式2.等比數(shù)列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q.

(學(xué)生自己動手解答。)

說明：例1的目的是讓學(xué)生熟悉公式并應(yīng)用于實(shí)際，例2及變式是讓學(xué)生明白，公式中a1 ,q,n,an四個(gè)量中，知道任意三個(gè)即可求另一個(gè)。并從這些題中掌握等比數(shù)列運(yùn)算中常規(guī)的消元方法。

6.探索等比數(shù)列的性質(zhì)

類比等差數(shù)列的性質(zhì)，猜測等比數(shù)列的性質(zhì)，然后引導(dǎo)推證。

7.性質(zhì)應(yīng)用

例3.在等比數(shù)列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15

(讓學(xué)生自己動手，尋求多種解題方法。)

方法一：由題意列方程組解得

方法二：利用性質(zhì)2

方法三：利用性質(zhì)3

例4(見教材例3)已知數(shù)列{an}、{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證:{an·bn}是等比數(shù)列。

8.小結(jié)

為了讓學(xué)生將獲得的知識進(jìn)一步條理化，系統(tǒng)化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力及練習(xí)后進(jìn)行再認(rèn)識的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)。

1、等比數(shù)列的定義，怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，每個(gè)字母代表的含義。

3、等比數(shù)列應(yīng)注意那些問題(a1≠0,q≠0)

4、等比數(shù)列的圖像

5、通項(xiàng)公式的應(yīng)用 (知三求一)

6、等比數(shù)列的性質(zhì)

7、等比數(shù)列的概念(注意兩點(diǎn)①同號兩數(shù)才有等比中項(xiàng)

②等比中項(xiàng)有兩個(gè)，他們互為相反數(shù))

8、本節(jié)課采用的主要思想

——類比思想

9.布置作業(yè)

習(xí)題3.4 1②、④ 3. 8. 9.

10.板書設(shè)計(jì)

數(shù)列的課件(篇2)

分總文段一般有明顯特點(diǎn)，尾句或者結(jié)尾出現(xiàn)明顯的提示詞：總之、可見、可得、總而言之、綜上所述、從這個(gè)意義上講等，總結(jié)句之后，就很可能是文段的主旨。一般分總文段，經(jīng)?？嫉降男形挠校悍治稣撌?得出結(jié)論、提出問題-解決問題。因而，對于分總文段，我們可以結(jié)合標(biāo)志詞和行文，重點(diǎn)關(guān)注尾句。

【例1】汪曾祺曾說語言不是外部的東西，它是和內(nèi)在的思想同時(shí)存在，不可剝離的。在他看來寫小說就是寫語言，語文課學(xué)的是語言，但語言不是空殼，而是要承載各種各樣的思想、哲學(xué)、倫理、道德的。怎么做人，如何對待父母兄弟姐妹，如何對待朋友，如何對待民族、國家和自己的勞動等，這些在語文課里是與語言并存的。從這個(gè)意義來講，語文教育必須吸收和繼承傳統(tǒng)文化，而詩歌無疑是傳統(tǒng)文化的集大成者。

這段文字意在說明：

a.詩歌中包含豐富的思想、倫理和道德元素。

b.脫離內(nèi)在思想的語文教育是空洞無物的。

c.必須重視詩歌在語文教育中的作用。

d.語文教育需要和思想品德教育同步進(jìn)行。

【答案】c。解析：文段首先指出汪曾祺認(rèn)為語言與內(nèi)在思想同時(shí)存在不可剝離;接著對此進(jìn)行了具體闡釋，指出語文課學(xué)的不僅是語言，還有如何為人處世;最后由“從這個(gè)意義來講”作總結(jié)，指出語文教育必須重視吸收和繼承傳統(tǒng)文化，尤其是詩歌這個(gè)傳統(tǒng)文化的集大成者?？梢姡亩巫詈舐淠_在語文教育必須重視詩歌，c項(xiàng)表述與此相符，當(dāng)選。

【例2】外科手術(shù)和放、化療對癌癥治療的效果可以肯定，但不滿意。由于存在對自身的損傷，加劇了正不勝邪的矛盾，給癌細(xì)胞復(fù)活繁殖以可乘之機(jī)，一旦復(fù)活，卷土重來，而自身正氣削弱殆盡，無力抵擋，導(dǎo)致復(fù)發(fā)率高，存活率低的結(jié)果。若能與中醫(yī)在理、法、方、藥實(shí)際內(nèi)涵上切實(shí)融合，杜絕形式上的湊合，定能彌補(bǔ)這種不滿意，使正不勝邪轉(zhuǎn)化為邪不勝正，則可望獲得圓滿結(jié)果。

這段文字意在說明：

a.癌癥有著復(fù)發(fā)率高、存活率低的特點(diǎn)。

b.中醫(yī)可能會對癌癥的治療起到意想不到的效果。

c.外科手術(shù)等西醫(yī)的方法并不能從根本上治療癌癥。

d.運(yùn)用中西醫(yī)結(jié)合的方法可能會從根本上治愈癌癥。

【答案】d。解析：文段首先介紹了西醫(yī)治療癌癥的弊端，接著指出若能把中西醫(yī)切實(shí)融合起來，彌補(bǔ)西醫(yī)的欠缺，則可能產(chǎn)生良好的治療效果。由此可知，文段強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)用中西醫(yī)結(jié)合方法治療癌癥。d項(xiàng)表述與此相符，當(dāng)選。a項(xiàng)為問題論述部分。b項(xiàng)文段沒有涉及。c項(xiàng)“不能從根本上治療癌癥”說法過于絕對。故本題選d。

數(shù)列的課件(篇3)

高中數(shù)列，有規(guī)律可循的類型無非就是兩者，等差數(shù)列和等比數(shù)列，這兩者的題目還是比較簡單的，要把公式牢記住，求和，求項(xiàng)也都是比較簡單的，公式的運(yùn)用要熟悉。

題目常常不會如此簡單容易，稍微加難一點(diǎn)的題目就是等差和等比數(shù)列的一些組合題，這里要采用的一些方法有錯位相消法。

題目變化多端，往往出現(xiàn)的壓軸題都是一些從來沒有接觸過的一些通項(xiàng)，有些甚至連通項(xiàng)也不給。針對這兩類，我認(rèn)為應(yīng)該積累以下的一些方法。

對于求和一類的題目，可以用柯西不等式，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列再求和，分母的放縮，數(shù)學(xué)歸納法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)等方法等方法

對于求通項(xiàng)一類的題目，可以采用先代入求值找規(guī)律，再數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證，或是用累加法，累乘法都可以。

總之，每次碰到一道陌生的數(shù)列題，要進(jìn)行總結(jié)，得出該類的解題方法，或者從中學(xué)會一種放縮方法，這對于以后很有幫

1、調(diào)動興趣是關(guān)鍵：因?yàn)槲蚁矚g數(shù)學(xué)，所以我愿意去學(xué)它，所以我在學(xué)習(xí)過程中遇到任何艱難險(xiǎn)阻也愿意去克服;克服困難所得來的成功體驗(yàn)又增強(qiáng)了我學(xué)習(xí)的興趣和信心，所以我更喜歡學(xué)數(shù)學(xué)了。

2、化抽象為生動：比如在講例題的時(shí)候，結(jié)合題目給學(xué)生講一些順口溜、數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)發(fā)展史、生活中的數(shù)學(xué)等。讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在身邊。比如華羅庚的數(shù)形結(jié)合順口溜“數(shù)與形，本相依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)，難直覺;形缺數(shù)時(shí)，難入微。代數(shù)幾何本一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！鄙钪械臄?shù)學(xué)包括身邊的事、新聞時(shí)事等，比如：讓學(xué)生適度參與現(xiàn)在很多父母都熱衷的股票問題;自己家里每月消費(fèi)多少米，多少油，多少鹽等，人均消費(fèi)多少;今年淮河流域出現(xiàn)洪災(zāi)，泄洪時(shí)就需要考慮上游水位和下游河道寬的關(guān)系等等。

3、化抽象為形象：現(xiàn)在的學(xué)生大都對電腦感興趣，如果從這一點(diǎn)入手引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，是個(gè)很好的辦法。鄭州一所重點(diǎn)中學(xué)的劉老師用幾何畫板讓學(xué)生形象直觀的體會數(shù)學(xué)知識，學(xué)生在學(xué)幾何畫板的同時(shí)，學(xué)數(shù)學(xué)的積極性也被調(diào)動起來了。

4、成功體驗(yàn)的積累：興趣與成就感往往有很大關(guān)系。每個(gè)孩子都有想成為研究者、發(fā)現(xiàn)者的內(nèi)在愿望，都有被認(rèn)同和賞識的需要，都希望取得成就和進(jìn)步。教育者應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)步，給不同學(xué)生提不同的要求，讓他們有機(jī)會成功，體會成功時(shí)的成就感。

5、營造學(xué)數(shù)學(xué)的環(huán)境：比如家里的書架上可以放一些數(shù)學(xué)相關(guān)的書籍如《速算秘訣》《中學(xué)生數(shù)理化》《好玩的數(shù)學(xué)系列》《訓(xùn)練思考能力的數(shù)學(xué)書》《故事中的數(shù)學(xué)》等，并推薦孩子閱讀。學(xué)校里也可以營造這樣的氛圍。有位老師說：“我每天課間時(shí)間都會坐在教室門口，拿起一本書來看。總會有幾個(gè)學(xué)生來問我看的是什么書，一問一答之間他們就對我手里的書感興趣了。幾天后我就會發(fā)現(xiàn)，有一兩個(gè)學(xué)生帶頭借了這本書。再過一陣子，這本書就風(fēng)靡全班了?！?/p>

6、打牢基礎(chǔ)也可以通過做題來實(shí)現(xiàn)，這跟題海戰(zhàn)術(shù)不同，有的學(xué)生可能做兩道題就弄懂了，那他就不需要再做，有的學(xué)生可能需要做20道題，總之，為了達(dá)到最好的理解和記憶效果，讓學(xué)生自己理解知識點(diǎn)之后，再多做1-2道題，達(dá)到150%的理解和記憶效果。

數(shù)列的課件(篇4)

教學(xué)目標(biāo)

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。

教學(xué)重難點(diǎn)

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。

教學(xué)過程

【復(fù)習(xí)要求】熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。

【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識界實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是通過對實(shí)際問題的綜合分析，確定其數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確定其首項(xiàng)，公差或公比等基本元素，然后設(shè)計(jì)合理的計(jì)算方案，即數(shù)學(xué)建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。

一、基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘x一次一個(gè)x為兩個(gè)，經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成

A、511B、512C、1023D、1024

2、若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為

A、B、

C、D、

二、典型例題

例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少？

評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時(shí)期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計(jì)算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的`方法。用實(shí)際問題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期存期+1利率]

例2：某人從1999到20xx年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？

例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進(jìn)行長期頑強(qiáng)的斗爭，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達(dá)到30%，從20xx年開始，每年將出現(xiàn)以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時(shí)，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬柦?jīng)過多少年的努力才能使全縣的綠洲面積超過60%。lg2=0.3

例4、流行性感冒簡稱流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。

數(shù)列的課件(篇5)

1.能正確計(jì)算有關(guān)0的加減法。

2..培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫習(xí)慣和想像能力。重點(diǎn)難點(diǎn)。

弄懂有關(guān)0的加減法計(jì)算的算理并能正確計(jì)算有關(guān)0的加減法。教學(xué)準(zhǔn)備課件，口算卡片教學(xué)過程：

3-3=0表示什么意思？（窩里原來有3只小鳥，飛走了3只，窩里現(xiàn)在一只也沒有了，用0表示）。

先讓學(xué)生觀察，說圖意，老師引導(dǎo)：

左邊荷葉上有幾只青蛙，右邊荷葉上有幾只？兩片荷葉上一共有幾只？用什么方法計(jì)算，怎樣列式？教師一一板書：4+0=4（4）想一想：5-0=0+0=先說算式的含義，再說得數(shù)。課堂小結(jié)：

提問：今天，我們學(xué)習(xí)了什么？你有什么收獲？

小結(jié)：今天，我們認(rèn)識了0，知道0表示什么也沒有，還表示起點(diǎn)，并且學(xué)會了0的正確寫法。還會正確計(jì)算有關(guān)0的加減法。教學(xué)反思：

1.充分利用教材的資源，將教材靜態(tài)的圖動態(tài)化，讓學(xué)生在生動有趣的故事情節(jié)中體會從有到無這個(gè)動態(tài)的變化過程，更好地理解0的含義。

2.同時(shí)提倡算法多樣化，學(xué)生根據(jù)自己不同的理解計(jì)算有關(guān)0的加減法。

數(shù)列的課件(篇6)

設(shè)計(jì)思路

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面， 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

教學(xué)過程：

一、片頭

（30秒以內(nèi)）

前面學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念與簡單表示法，今天我們來學(xué)習(xí)一種特殊的數(shù)列－等差數(shù)列。本節(jié)微課重點(diǎn)講解等差數(shù)列的定義， 并且能初步判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。

30秒以內(nèi)

二、正文講解（8分鐘左右）

第一部分內(nèi)容：由三個(gè)問題，通過判斷分析總結(jié)出等差數(shù)列的定義 60 秒

第二部分內(nèi)容：給出等差數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)表達(dá)式50 秒

第三部分內(nèi)容：哪些數(shù)列是等差數(shù)列？并且求出首項(xiàng)與公差。根據(jù)這個(gè)練習(xí)總結(jié)出幾個(gè)常用的結(jié)152秒

三、結(jié)尾

（30秒以內(nèi)）授課完畢，謝謝聆聽！30秒以內(nèi)

自我教學(xué)反思

本節(jié)課通過生活中一系列的實(shí)例讓學(xué)生觀察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力。充分體現(xiàn)了學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程，使學(xué)生對等差數(shù)列有了從感性到理性的認(rèn)識過程。

它山之石可以攻玉，以上就是范文為大家整理的6篇《高一數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案》，能夠給予您一定的參考與啟發(fā)，是范文的價(jià)值所在。

數(shù)列的課件(篇7)

數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會用“”定義證明簡單數(shù)列的極限。

2.掌握三個(gè)最基本的極限和數(shù)列極限的運(yùn)算法則的運(yùn)用。

3.理解無窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念。

4.培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算能力，提高學(xué)生分析問題，解決問

題的能力。

教學(xué)過程：

問題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？

數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列{an},如果存在一個(gè)常數(shù)A，無論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)aN,使得這一項(xiàng)后的所有項(xiàng)與A的差的絕對值小于，（即當(dāng)n>N時(shí)，記

時(shí)，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當(dāng)

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，

因?yàn)镹時(shí)，an對應(yīng)的點(diǎn)都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內(nèi)?！倍x來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ N時(shí)，立）。

問題6

：無窮常數(shù)數(shù)列有無極限？數(shù)列呢？數(shù)列

（

三個(gè)最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數(shù)列極限的運(yùn)算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個(gè)數(shù)列都有極限，那么這兩個(gè)數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項(xiàng)作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運(yùn)算法則中的只能推廣到有限個(gè)的情形。

問題9：無窮數(shù)列各項(xiàng)和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和，特別地，對無窮等比數(shù)列（

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計(jì)算：

（++）=0，求實(shí)數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為

小結(jié)：本節(jié)課復(fù)習(xí)了數(shù)列極限的概念，運(yùn)算法則，三個(gè)最基本的極限，無窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念，以及它們的運(yùn)用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡單數(shù)列的極限，利用運(yùn)算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無窮數(shù)列各項(xiàng)和。

數(shù)列的課件(篇8)

目的：

要求學(xué)生理解數(shù)列的概念及其幾何表示，理解什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫?xiàng)公式，已知通項(xiàng)公式能夠求數(shù)列的項(xiàng)。

按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）。由數(shù)列定義知：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。

2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可以用一個(gè)關(guān)于n的公式來表示，這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。

從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)對自學(xué)成才的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的解析式。由于數(shù)列的.項(xiàng)是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點(diǎn)。

難點(diǎn)：

根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般比較困難，且有的數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式，如果有通項(xiàng)公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)要確定其一個(gè)通項(xiàng)公式，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。

1． 堆放的鋼管 4,5,6,7,8,9,102． 正整數(shù)的倒數(shù) 3． 4． -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…5． 無窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…

遞增數(shù)列、遞減數(shù)列；常數(shù)列；擺動數(shù)列； 有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

5． 實(shí)質(zhì)：

從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，通項(xiàng)公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。

6． 用圖象表示：

3． 已知通項(xiàng)公式可寫出數(shù)列的任一項(xiàng)，因此通項(xiàng)公式十分重要例二 （P111 例二）略

四、補(bǔ)充例題：

寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ，

1．觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， …

2．寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、

3．求數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式

4．已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為0， ，0， ，則下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作為數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知數(shù)列1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個(gè)數(shù)列的（ ）A． 第10項(xiàng) B.第11項(xiàng) C.第12項(xiàng) D.第21項(xiàng)

6．在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式或序號n的一次函數(shù)，求通項(xiàng)公式。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。

8．在數(shù)列{an}中，an=

（2）求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)。

答案：

1.（1） ，an= （2） ，an=

2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an=

3．a(chǎn)n= 或an= 這里借助了數(shù)列1，0，1，0，1，0…的通項(xiàng)公式an= 。

7．（1）an= (2)

數(shù)列的課件(篇9)

教學(xué)目標(biāo)?

1.理解的概念，掌握的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題。

（1）正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是，了解等比中項(xiàng)的概念；

（2）正確認(rèn)識使用的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng)；

（3）通過通項(xiàng)公式認(rèn)識的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問題。

2.通過對的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)。

3.通過對概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

教學(xué)建議

教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

是另一個(gè)簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用。

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是的定義和對通項(xiàng)公式的認(rèn)識與應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)?在于通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

①與等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出的特性，這些是教學(xué)的重點(diǎn)。

②雖然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過不完全歸納法，但對學(xué)生來說仍然不熟悉；在推導(dǎo)過程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力；第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn)。

③對等差數(shù)列、的綜合研究離不開通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。

教學(xué)建議

（1）建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項(xiàng)公式的應(yīng)用。

（2）概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義。也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括的定義。

（3）根據(jù)定義讓學(xué)生分析的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對概念的理解。

（4）對比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納的各種表示法。 啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象。

（5）由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn)。

（6）可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題：的概念

教學(xué)目標(biāo)?

1.通過教學(xué)使學(xué)生理解的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式。

2.使學(xué)生進(jìn)一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

重點(diǎn)、難點(diǎn)是的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

教學(xué)用具

投影儀，多媒體軟件，電腦。

教學(xué)方法

討論、談話法。

教學(xué)過程?

一、提出問題

給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標(biāo)準(zhǔn)。（幻燈片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1， ， ，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由學(xué)生發(fā)表意見（可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學(xué)生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為）.

二、講解新課

請學(xué)生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題。假設(shè)每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲，…，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù) 這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——. （這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）

（板書）

1.的定義（板書）

根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義。學(xué)生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來的。教師寫出的定義，標(biāo)注出重點(diǎn)詞語。

請學(xué)生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是。學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學(xué)生再舉兩例。而后請學(xué)生概括這類數(shù)列的一般形式，學(xué)生可能說形如 的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學(xué)生討論后得出結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 既是等差又是，當(dāng) 時(shí)，它只是等差數(shù)列，而不是。教師追問理由，引出對的認(rèn)識：

2.對定義的認(rèn)識（板書）

（1）的首項(xiàng)不為0；

（2）的每一項(xiàng)都不為0，即 ；

問題：一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)均不為0是這個(gè)數(shù)列為的什么條件？

（3）公比不為0.

用數(shù)學(xué)式子表示的定義。

是 ①.在這個(gè)式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成 ，可讓學(xué)生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為 是 ？為什么不能？

式子 給出了數(shù)列第 項(xiàng)與第 項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個(gè)？（不能）確定一個(gè)需要幾個(gè)條件？當(dāng)給定了首項(xiàng)及公比后，如何求任意一項(xiàng)的值？所以要研究通項(xiàng)公式。

3.的通項(xiàng)公式（板書）

問題：用 和 表示第 項(xiàng) .

①不完全歸納法

.

②疊乘法

，… ， ，這 個(gè)式子相乘得 ，所以 .

（板書）（1）的通項(xiàng)公式

得出通項(xiàng)公式后，讓學(xué)生思考如何認(rèn)識通項(xiàng)公式。

（板書）（2）對公式的認(rèn)識

由學(xué)生來說，最后歸結(jié)：

①函數(shù)觀點(diǎn)；

②方程思想（因在等差數(shù)列中已有認(rèn)識，此處再復(fù)習(xí)鞏固而已）.

這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問題。方程中有四個(gè)量，知三求一，這是公式最簡單的應(yīng)用，請學(xué)生舉例（應(yīng)能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練）

如果增加一個(gè)條件，就多知道了一個(gè)量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究。同學(xué)可以試著編幾道題。

三、小結(jié)

1.本節(jié)課研究了的概念，得到了通項(xiàng)公式；

2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；

3.用方程的思想認(rèn)識通項(xiàng)公式，并加以應(yīng)用。

四、作業(yè)?（略）

五、板書設(shè)計(jì)?

三。

1.的定義

2.對定義的認(rèn)識

3.的通項(xiàng)公式

（1）公式

（2）對公式的認(rèn)識

探究活動

將一張很大的薄紙對折，對折30次后（如果可能的話）有多厚？不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。

參考答案：

30次后，厚度為，這個(gè)厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙?jiān)俦∫恍热缂埡?.001毫米，對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了。還記得國王的承諾嗎？第31個(gè)格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個(gè)格子中的米應(yīng)是 粒，用計(jì)算器算一下吧（用對數(shù)算也行）.

數(shù)列的課件(篇10)

數(shù)列的極限說課稿

【一、教材分析】

1、教材的地位和作用：

數(shù)列的極限是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)一個(gè)銜接點(diǎn)，它同時(shí)也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。在中學(xué)階段滲透近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是課程教材改革的要求之一。教材把極限作為高中階段的必修內(nèi)容，意圖是在中學(xué)階段滲透極限思想，使學(xué)生初步接觸用有限刻畫無限，由已知認(rèn)識未知，由近似描述精確的數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生對變量、變化過程有更深的認(rèn)識，這對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)有積極意義。

2、教學(xué)目標(biāo)及確立的依據(jù)：

教學(xué)目標(biāo)：

（1）教學(xué)知識目標(biāo)：通過趣聞故事和割圓術(shù)使學(xué)生對“無限趨近”有感性的認(rèn)識；

從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列極限的概念；

會判斷一些簡單數(shù)列的極限。

（2）能力訓(xùn)練目標(biāo)：觀察運(yùn)動和變化的過程，初步認(rèn)識有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辨證關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力和抽象思維能力。

（3）德育滲透目標(biāo)：通過教學(xué)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)審美能力，培養(yǎng)學(xué)生的主動探索精神和創(chuàng)新意識。

教學(xué)目標(biāo)確立的依據(jù)：《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確規(guī)定，要從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列的極限，針對這樣的情況，我依照《大綱》的要求制定了符合實(shí)際的教學(xué)目標(biāo)，并在教學(xué)過程中把重點(diǎn)放在對數(shù)列極限的概念意義的準(zhǔn)確把握和理解上。為了更好的達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)一些形象、直觀、準(zhǔn)確的計(jì)算機(jī)演示程序，分散教學(xué)難點(diǎn)。

3、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)確立的依據(jù)：

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的意義

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的概念理解

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)確立的依據(jù)：數(shù)列極限的定義抽象性比較強(qiáng)，它有諸多的定義方式，我們教材是采用描述性方法定義數(shù)列的極限。數(shù)列極限的定義過程，重點(diǎn)是剖析“數(shù)列無限趨近于常數(shù)”的含義。所以要求學(xué)生的理性認(rèn)識能力較高，所以本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)就必然落在對數(shù)列極限概念的理解上。

【二、教材的處理】

由于極限的概念中關(guān)系到“無限”，而高中學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要接觸的是“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。因此，對極限概念如何從變化趨勢的角度來正確理解成為本章的難點(diǎn)。為了解決這一難點(diǎn)，主要結(jié)合具體例子，首先要讓學(xué)生對它形成正確的初步認(rèn)識，為了理解極限概念積累一定的感性認(rèn)識，還要注意從“特殊”到“一般”的歸納。在將具體例子時(shí)，注意從中提煉，概括涉及極限的本質(zhì)特征，為歸納出一般概念作好準(zhǔn)備；在講一般概念時(shí)，注意結(jié)合具體例子予以解釋說明，克服抽象理解的困難，使學(xué)生對數(shù)列極限的概念有很準(zhǔn)確的認(rèn)識。教材中只是介紹了數(shù)列極限的定義，著重讓學(xué)生從變化趨勢上去理解，工夫化在概念的理解上，而不過分膨脹內(nèi)容、增加習(xí)題難度和過多的訓(xùn)練。

【三、教學(xué)方法和教學(xué)工具】

教學(xué)方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)特征，教師歸納概念，師生共同探討。

確立教學(xué)方法的依據(jù)：數(shù)列極限是一個(gè)抽象的概念，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解從“有限”到“無限”如何從變化趨勢來理解極限的概念，通過師生共同觀察討論來幫助學(xué)生深刻理解，為以后的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教學(xué)工具：多媒體教學(xué)設(shè)備

【四、教學(xué)流程】

主要過程課程設(shè)計(jì)及決策意圖

一、引入

（1）趣聞故事以趣聞故事引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，并使學(xué)生對“無限接近”有感性的認(rèn)識。

（2）割圓術(shù)通過割圓術(shù)使學(xué)生對“無限接近”有進(jìn)一步的認(rèn)識，并及時(shí)進(jìn)行德育滲透，增強(qiáng)民族自豪感。

二、數(shù)列極限的描述性定義

（1）給出幾個(gè)數(shù)列，讓學(xué)生由學(xué)生歸納當(dāng)無限增大時(shí)數(shù)列的項(xiàng)的值的相關(guān)特征，教師順其給出數(shù)列極限的描述性列表計(jì)算，并借助計(jì)算機(jī)定義，并通過描述性定義進(jìn)行辨析，為后面理演示作圖，觀察歸納數(shù)列解“無限趨近”的數(shù)量表示做準(zhǔn)備極限的描述性定義

（2）概念的辨析

三、“無限趨近”的數(shù)量表示

給出一個(gè)具體的數(shù)列，通過這個(gè)數(shù)列重點(diǎn)剖析“數(shù)列{ }無限趨近于并把這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)在數(shù)軸上常數(shù)c”的含義，讓學(xué)生對“數(shù)列無限趨近于常表示，觀察數(shù)列各項(xiàng)的點(diǎn)與1數(shù)c”有進(jìn)一步的認(rèn)識。

的距離是越來越趨近于1。

然后通過“越來越趨近于1”

在數(shù)量上的反映為當(dāng)無限增大時(shí)，預(yù)先給定任意小的正數(shù)總可以找到這樣的，使得與1的差的絕對值都小于，即

三、練習(xí)鞏固數(shù)列極限概念

四、小結(jié) 總結(jié)數(shù)列極限概念的本質(zhì)

【五．幾點(diǎn)說明】

數(shù)學(xué)教學(xué)注重的是學(xué)生在原有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，在教師的組織和指導(dǎo)下，充分自主的進(jìn)行討論、交流，通過表達(dá)、接受和轉(zhuǎn)換，獲取新的數(shù)學(xué)知識與方法，重組個(gè)人的知識結(jié)構(gòu)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高個(gè)人獲取信息的能力，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的精神。所以在這節(jié)課的設(shè)計(jì)上，我主要是通過趣聞吸引學(xué)生的興趣，從而對極限有感性的認(rèn)識，然后通過具體數(shù)列由觀察到分析，由定性到定量，由直觀到抽象，按照思維的發(fā)展規(guī)律，有淺入深設(shè)計(jì)了6個(gè)不同的層次：

1、通過趣聞和割圓術(shù)，使學(xué)生對數(shù)列極限有感性的認(rèn)識，并及時(shí)滲透愛國注意教育，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并激勵學(xué)生的好奇心和求知欲，在認(rèn)知方面明確本節(jié)課的內(nèi)容。

2、給出幾個(gè)具體的無窮數(shù)列，讓學(xué)生通過列表計(jì)算，并借助計(jì)算機(jī)作圖觀察，并討論交流歸納出有極限數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)的直觀特點(diǎn)；

3、教師引導(dǎo)學(xué)生概括出數(shù)列極限的描述性定義；

4、通過對幾個(gè)精心設(shè)計(jì)的幾個(gè)問題的討論，糾正學(xué)生在對數(shù)列的描述性定義理解上可能出現(xiàn)的錯誤，這樣可以使學(xué)生對數(shù)列極限定義的進(jìn)一步探討的必要性有了初步的認(rèn)識，也能夠激發(fā)起學(xué)生的參與熱情；

5、通過具體的例子深入分析數(shù)列極限的內(nèi)涵，理解“無限趨近”的數(shù)量表示；

6、鞏固練習(xí)，加深對數(shù)列極限概念的正確認(rèn)識。

小結(jié)

重在對數(shù)列極限概念的本質(zhì)進(jìn)行總結(jié)和點(diǎn)撥，以便引起學(xué)生對極限的更深刻的思考，同時(shí)與教學(xué)目標(biāo)相呼應(yīng)。

數(shù)列的課件(篇11)

高中數(shù)列教案

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中的一個(gè)重要概念，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)列的概念并不難理解，但要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，則需要花費(fèi)一定的時(shí)間和精力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列的教學(xué)一直是一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)。為了能夠更好地幫助學(xué)生掌握數(shù)列的相關(guān)知識，老師需要設(shè)計(jì)生動有趣的課堂教學(xué)內(nèi)容，制定有效的數(shù)列教案。

一、教學(xué)目標(biāo)

在設(shè)計(jì)數(shù)列教案之前，首先要確定教學(xué)目標(biāo)。數(shù)列教學(xué)的目標(biāo)主要包括：

1. 理解數(shù)列的概念和性質(zhì)；

2. 掌握數(shù)列的常用運(yùn)算規(guī)律；

3. 能夠應(yīng)用數(shù)列解決實(shí)際問題；

4. 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推理能力。

二、教學(xué)內(nèi)容

數(shù)列的內(nèi)容涉及很廣泛，包括等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項(xiàng)公式、數(shù)列的和等方面。在設(shè)計(jì)數(shù)列教案時(shí)，應(yīng)該將這些內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，從淺入深地進(jìn)行教學(xué)。

1. 等差數(shù)列

等差數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)之差恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學(xué)中，可以通過生動有趣的例子引入等差數(shù)列的概念，然后介紹等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，并通過例題講解加深學(xué)生對等差數(shù)列的理解。

2. 等比數(shù)列

等比數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)之比恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學(xué)中，同樣可以通過生動有趣的例子引入等比數(shù)列的概念，介紹等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，并通過例題講解加深學(xué)生對等比數(shù)列的理解。

3. 數(shù)列的和

數(shù)列的和是數(shù)列中所有項(xiàng)的和。在教學(xué)中，可以通過生活中的實(shí)際問題引入數(shù)列的和的概念，介紹數(shù)列的和的計(jì)算方法和性質(zhì)，并通過例題講解加深學(xué)生對數(shù)列的和的理解。

三、教學(xué)方法

在設(shè)計(jì)數(shù)列教案時(shí)，要采用多種教學(xué)方法，例如講授法、練習(xí)法、歸納法、啟發(fā)法等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

1. 講授法

通過講解概念、性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，使學(xué)生理解數(shù)列的相關(guān)知識點(diǎn)。

2. 練習(xí)法

通過大量的練習(xí)，鞏固學(xué)生對數(shù)列的掌握程度，并培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

3. 歸納法

通過歸納總結(jié)，幫助學(xué)生理清數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，提高學(xué)生對數(shù)列的整體認(rèn)識。

4. 啟發(fā)法

通過啟發(fā)學(xué)生思考和解題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推理能力。

四、教學(xué)手段

為了提高教學(xué)效果，教師可以運(yùn)用多種教學(xué)手段，如教學(xué)演示、多媒體輔助、學(xué)生互動等，使數(shù)列教學(xué)更加生動有趣。

1. 教學(xué)演示

通過教學(xué)演示，可以形象直觀地展示數(shù)列的概念和性質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)列的相關(guān)知識。

2. 多媒體輔助

通過多媒體輔助教學(xué)，可以運(yùn)用圖片、視頻等多媒體資料，吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3. 學(xué)生互動

通過學(xué)生互動，可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)效果。

五、教學(xué)評估

在教學(xué)過程中，要及時(shí)對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評估，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)更加有針對性。

1. 小測驗(yàn)

可以通過小測驗(yàn)來檢測學(xué)生對數(shù)列的掌握程度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并進(jìn)行針對性輔導(dǎo)。

2. 課堂討論

可以通過課堂討論來檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。

3. 作業(yè)檢查

通過作業(yè)檢查，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并進(jìn)行針對性的輔導(dǎo)，幫助學(xué)生提高數(shù)列的學(xué)習(xí)效果。

通過以上的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)評估，設(shè)計(jì)出生動具體的高中數(shù)列教案，將有助于提高教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)列的相關(guān)知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。

數(shù)列的課件(篇12)

?§3.1.1、的通項(xiàng)公式?目的：要求學(xué)生理解的概念及其幾何表示，理解什么叫的通項(xiàng)公式，給出一些能夠?qū)懗銎渫?xiàng)公式，已知通項(xiàng)公式能夠求的項(xiàng)。重點(diǎn)：1的概念。按一定次序排列的一列數(shù)叫做。中的每一個(gè)數(shù)叫做的項(xiàng)，的第n項(xiàng)an叫做的通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）。由定義知：中的數(shù)是有序的，中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。2．的通項(xiàng)公式，如果{an}的通項(xiàng)an可以用一個(gè)關(guān)于n的公式來表示，這個(gè)公式就叫做的通項(xiàng)公式。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)對自學(xué)成才的一列函數(shù)值，而的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的解析式。由于的項(xiàng)是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一些孤立的點(diǎn)。難點(diǎn)：根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，以現(xiàn)規(guī)律后寫出的通項(xiàng)公式。給出的前若干項(xiàng)求的通項(xiàng)公式，一般比較困難，且有的不一定有通項(xiàng)公式，如果有通項(xiàng)公式也不一定唯一。給出的前若干項(xiàng)要確定其一個(gè)通項(xiàng)公式，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。過程：一、從實(shí)例引入（P110）1．? 堆放的鋼管? ??4,5,6,7,8,9,102．? 正整數(shù)的倒數(shù)??? 3．? 4．? -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…5．? 無窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…二、提出課題：1．? 的定義：按一定次序排列的一列數(shù)（的有序性）2．? 名稱：項(xiàng)，序號，一般公式 ，表示法 3．? 通項(xiàng)公式： 與 之間的函數(shù)關(guān)系式如 1： ?????2： ???? 4： 4．? 分類：遞增、遞減；常；擺動；????????????????? 有窮、無窮。5．? 實(shí)質(zhì)：從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集?? ???????? ???N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，通項(xiàng)公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。6．? 用圖象表示：— 是一群孤立的點(diǎn)????????? 例一 （P111 例一?? 略）三、關(guān)于的通項(xiàng)公式1．? 不是每一個(gè)都能寫出其通項(xiàng)公式 （如3）2．? 的通項(xiàng)公式不唯一?? 如： 4可寫成????? 和???????????????? ??????????? ??? 3．? 已知通項(xiàng)公式可寫出的任一項(xiàng)，因此通項(xiàng)公式十分重要例二? （P111? 例二）略?????????? 四、補(bǔ)充例題：寫出下面的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：1．1，0，1，0．????????????????????? ????????????? 2． ， ， ， ， ??????? ????????????? 3．7，77，777，7777????????? ????????????? 4．-1，7，-13，19，-25，31?????????? ????????????? 5． ， ， ， ???????? 五、小結(jié)：1．的有關(guān)概念2．觀察法求的通項(xiàng)公式六、作業(yè)?：? 練習(xí)P112??習(xí)題 3．1（P114）1、2七、練習(xí)：1．觀察下面的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫出每個(gè)的一個(gè)通項(xiàng)公式；（1） ， ， ，（?? ）， ， …（2） ，（? ）， ， ， …? 2．寫出下面的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1、 、 、 ；??????? （2） 、 、 、 ；?????? ????????????????? （3） 、 、 、 ；? （4） 、 、 、 。3．求1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式4．已知an的前4項(xiàng)為0， ，0， ，則下列各式 ①an=??? ②an=? ③an=? 其中可作為{an}通項(xiàng)公式的是?A ①???????? B ①②???????? C ②③??????? D ①②③ 5．已知1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個(gè)的（??? ）?A． 第10項(xiàng)??? B.第11項(xiàng)??? C.第12項(xiàng)??? D.第21項(xiàng)????? 6．在{an}中a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式或序號n的一次函數(shù)，求通項(xiàng)公式。7．設(shè)函數(shù) （ ），{an}滿足 （1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）判斷{an}的單調(diào)性。8．在{an}中，an=（1）求證：{an}先遞增后遞減；（2）求{an}的最大項(xiàng)。?答案：1. （1） ，an=?（2） ，an=?????? 2．（1）an=??????????????????（2）an=???????? （3）an=????????（4）an=?????? 3．a(chǎn)n=?? ?或an=這里借助了1，0，1，0，1，0…的通項(xiàng)公式an=。4．D? 5.B?? 6. an=4n-27．（1）an=????(2)

數(shù)列的課件(篇13)

§３ 數(shù)列極限存在的條件

教學(xué)內(nèi)容：單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則。

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運(yùn)用它求某些收斂

數(shù)列的極限；初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性。

教學(xué)重點(diǎn)：單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)。

? 引言

在研究比較復(fù)雜的極限問題時(shí)，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問題）。這是極限理論的兩基本問題。

本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問題。為了確定某個(gè)數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷。本節(jié)就來介紹兩個(gè)判斷數(shù)列收斂的方法。

一、單調(diào)數(shù)列：

定義 若數(shù)列?an?的各項(xiàng)滿足不等式an?an?1(a?an?1)，則稱?an?為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列． ?(?1)n??1?2例如：??為遞減數(shù)列；?n?為遞增數(shù)列；??不是單調(diào)數(shù)列。n?n???

二、單調(diào)有界定理：

考慮：單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？有界數(shù)列一定收斂嗎？以上兩個(gè)問題答案都是否定的，如果數(shù)列對以上兩個(gè)條件都滿足呢？答案就成為肯定的了，即有如下定理：

定理2.9（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。

證明：不妨設(shè)?an?單調(diào)遞增有上界，由確界原理?an?有上確界a?sup?an?，下面證明liman?a.???0，n??

一方面，由上確界定義?aN??an?，使得a???aN，又由?an?的遞增性得，當(dāng)n?N時(shí)a???aN?an； 另一方面，由于a是?an?的一個(gè)上界，故對一切an，都有an?a?a??；

所以當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??，即an?a??，這就證得liman?a。n??

同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且為它的下確界。

例１ 設(shè)an?1?111????,n?1,2,?其中??2，證明數(shù)列?an?收斂。2?3?n?

證明：顯然數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，以下證明它有上界.事實(shí)上，an?1?111???? 22223n

?1?1111??1??11??1?????1??1???????????? 1?22?3(n?1)n?2??23??n?1n?

?2?1?2，n?1,2,? n

于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。

例２ 證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：

?? n個(gè)根號

解：記an?

顯然a1?2?2???2，易見數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明?an?有上界2.2?2，假設(shè)an?2，則有an?1?2?an?2?2?2，從而數(shù)列?an?有上界2.n??2于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。以下再求其極限，設(shè)liman?a，對等式an?1?2?an兩邊

2同時(shí)取極限得a?2?a，解之得a?2或a??1（舍去，由數(shù)列極限保不等式性知此數(shù)列極限非負(fù)），從而 lim2?2???2?2.n??

例３證明lim(1?)存在。n??1nn

分析：此數(shù)列各項(xiàng)變化趨勢如下

我們有理由猜測這個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，下面證明這個(gè)猜測是正確的。

證明：先建立一個(gè)不等式，設(shè)b?a?0，n?N?，則由

bn?1?an?1?(b?a)(bn?bn?1a?bn?2a2???ban?1?an)?(n?1)bn(b?a)得到不等式 an?1?bn?(n?1)a?nb?（＊）

以b?1?1111?1??a代入（＊）式，由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1 nn?1n?1n

n?1nn??11????????1??由此可知數(shù)列??1???為遞增數(shù)列； ??n???n???1??于是?1???n?1?

再以b?1?111?1?a代入（＊）式，同樣由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?)?，2n2n

2n2nn???1????4由此可知數(shù)列??1???為有界數(shù)列； ???n???1?1?1??于是1??1???1?????2n?2?2n?

n綜上由單調(diào)有界定理便知lim(1?)存在。n??n

n???1???注：數(shù)列??1???是收斂的，但它的極限目前沒有辦法求出，實(shí)際上它的極限是e（無理數(shù)），即有???n???

1lim(1?)n＝e，這是非常有用的結(jié)論，我們必須熟記，以后可以直接應(yīng)用。n??n

例4 求以下數(shù)列極限：

（1）lim(1?)；（2）lim(1?n??n??1nn1n1)；（3）lim(1?)2n.n??2nn

?n??1n1?? 解:(1)lim(1?)?lim??1???n??n??n???n?????11?； e

(2)lim(1?n????1n1?)?lim??1??n??2n2n????2n???e ??12

(3)lim(1?n??12n)n??1?n??lim??1????e2.n?????n???2

三、柯西收斂準(zhǔn)則：

１．引言：

單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準(zhǔn)則。

２．Cauchy收斂準(zhǔn)則：

定理2.10（Cauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列?an?收斂的充分必要條件是：對任給的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n,m?N時(shí)有|an?am|??；或?qū)θ谓o的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n?N，及任一p?N?，有an?p?an??。

３．說明：

(1)Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。

(2)Cauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)。或者，形象地說，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起。

(3)Cauchy準(zhǔn)則把??N定義中an與a的之差換成an與am之差。其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。

(4)數(shù)列?an?發(fā)散的充分必要條件是：存在?0?0，對任意的N?N?，都可以找到n,m?N，使得an?am??0；存在?0?0，對任意的N?N?，都可以找到n?N，及p?N?，使得an?p?an??0.例5設(shè)an?111?2???n，證明數(shù)列?an?收斂。101010

證明：不妨設(shè)n?m，則

an?am?111?????m?1m?2n101010

1110m?1??1?n?m??1???????10????1?1?1??1?1 m?n?m?19?10?10?10mm1?10對任給的??0，存在N?

例6設(shè)an?1?

證明：??0??，對一切n?m?N有|an?am|??，由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列?an?收斂。11???，證明數(shù)列?an?發(fā)散。2n

an?p1，對任意的N?N?，任取n?N，及p?n，則有 211111111?an??????????(共n項(xiàng))?n????0 n?1n?22n2n2n2n2n2由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列?an?發(fā)散。

數(shù)列的課件(篇14)

數(shù)列的極限 教學(xué)設(shè)計(jì)

西南位育中學(xué) 肖添憶

一、教材分析

《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學(xué)中最重要和最基本的概念之一，因?yàn)闃O限理論是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立了有限與無限、常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)之間的橋梁，從而彌補(bǔ)和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運(yùn)算法則、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的求解也要用到數(shù)列極限的運(yùn)算與性質(zhì)來推導(dǎo)，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。

課本在內(nèi)容展開時(shí)，以觀察n??時(shí)無窮等比數(shù)列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發(fā)展趨勢為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合數(shù)n21的發(fā)展趨勢，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個(gè)常用極限。但引入部分的表述如“無限趨近于0，但它永遠(yuǎn)不會成為0”、“不管n取值有多大，點(diǎn)（n，an）始終在橫軸的上方”可能會造成學(xué)生對“無限趨近”的理解偏差。

二、學(xué)情分析

通過第七章前半部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對于學(xué)生來說，數(shù)列極限是一個(gè)全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過渡的階段。

由于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與不當(dāng)?shù)耐评眍惐?，學(xué)生在理解“極限”、“無限趨近”時(shí)可能產(chǎn)生偏差，比如認(rèn)為極限代表著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學(xué)中“極限”的含義相差甚遠(yuǎn)。在學(xué)習(xí)數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與數(shù)列中“無限趨近”的含義有所差異，學(xué)生往往會因?yàn)槌?shù)列能達(dá)到某一個(gè)常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實(shí)。

三、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn) 教學(xué)目標(biāo)：

1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來龍去脈；

2、經(jīng)歷極限定義在漫長時(shí)期內(nèi)發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；

3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項(xiàng)公式來考察數(shù)列的極限；掌握三個(gè)常用極限。教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列極限的概念

教學(xué)難點(diǎn)：正確理解數(shù)列極限的描述性定義

四、教學(xué)策略分析

在問題引入時(shí)著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”在認(rèn)知上的矛盾，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在極限概念形成時(shí)，結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學(xué)，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程有著一定的相似性，學(xué)生在某些概念上的進(jìn)展有時(shí)與數(shù)學(xué)史上的概念進(jìn)展平行。比如部分學(xué)生的想法與許多古希臘的數(shù)學(xué)家一樣，認(rèn)為無限擴(kuò)大的正多邊形不會與圓周重合，它的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系列觀點(diǎn)，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程以認(rèn)知角度加以分析，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，進(jìn)而建構(gòu)推理過程，使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習(xí)診斷部分，不但要求回答問題，還需對選擇原因進(jìn)行辨析，進(jìn)而強(qiáng)化概念的正確理解。

五、教學(xué)過程提綱與設(shè)計(jì)意圖 1.問題引入

讓一名學(xué)生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動距講臺距離的一半，在黑板上寫出表示學(xué)生到講臺距離的數(shù)列。這名學(xué)生是否能走到講臺呢？類比“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”，莊子認(rèn)為這樣的過程是永遠(yuǎn)不會完結(jié)的，然而“講臺永遠(yuǎn)走不到”這一結(jié)果顯然與事實(shí)不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學(xué)家們是如何思考的。【設(shè)計(jì)意圖】

改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容

2.極限概念的發(fā)展與完善

極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因“無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實(shí)數(shù)理論的形成，嚴(yán)格的極限理論至此才真正建立?！驹O(shè)計(jì)意圖】

教師引導(dǎo)學(xué)生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)家們提出觀點(diǎn)的時(shí)代背景，對照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點(diǎn)與現(xiàn)今數(shù)學(xué)界認(rèn)可的觀點(diǎn)時(shí)，會使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突。從而可能使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)史展開教學(xué)可以讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的動機(jī)。

3.數(shù)列極限的概念

極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實(shí)踐的需要，不是哪一名數(shù)學(xué)家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴(yán)格定義經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的時(shí)期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對于極限的闡述。

定義：在n無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列{an}中的an無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列{an}的極限，或叫做數(shù)列{an}收斂于A，記作liman?A，讀作“n趨向于

n??無窮大時(shí)，an的極限等于A”。

在數(shù)列極限的定義中，可用|an-A|無限趨近于0來描述an無限趨近于A。

如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個(gè)較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時(shí)，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過比較歷史上不同觀點(diǎn)下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習(xí)診斷

由數(shù)列極限的定義得到三個(gè)常用數(shù)列的極限:(1)limC?C(C為常數(shù))；

n??(2)lim1?0(n?N*)； n??nnn??(3)當(dāng)|q|判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請說明理由

20162016（1）an?；

nsinn?； n（3）1,1,1,1,?,1（2）an?（4）an????4(1?n?1000)

?4(n?1001)?1?1-，n為奇數(shù)（5）an??n

?? 1，n為偶數(shù)注：

（1）、（2）考察三個(gè)常用極限

（3）考查學(xué)生是否能清楚認(rèn)識到數(shù)列極限概念是基于無窮項(xiàng)數(shù)列的背景下探討的。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)若無限趨近于一個(gè)常數(shù)，則認(rèn)為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個(gè)概念。

（4）引用柯西的觀點(diǎn)，解釋此處無限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，數(shù)列的項(xiàng)與某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項(xiàng)無關(guān)且無窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。

（5）擴(kuò)充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學(xué)生將趨近誤解為項(xiàng)數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習(xí)若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，則以下對A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數(shù)

B、A的精確值為1 C、A的近似值為1

選擇此選項(xiàng)的原因是_________ ①由于A的小數(shù)位都是 9，找不到比A大但比1小的數(shù)；

②A是由無限多個(gè)正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2；

③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的極限；

④1與A的差等于 0.00…01。

注：此題是為考查學(xué)生對于無窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學(xué)家們曾長時(shí)期陷入對無窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對極限概念的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時(shí)可能也會遇到類似的誤區(qū)。

練習(xí)順次連接△ABC各邊中點(diǎn)A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點(diǎn) A2、B2、C2并順次連接又得到一個(gè)新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進(jìn)行下去，那么最終得到的圖形是_________.A、一個(gè)點(diǎn)

B、一個(gè)三角形

C、不確定

選擇此選項(xiàng)的原因是_________.①

無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于 0 但不可能等于 0。②

當(dāng)操作一定次數(shù)后，三角形的三點(diǎn)會重合。

③

該項(xiàng)操作可以無限多次進(jìn)行下去，因而總能作出類似的三角形。

④

無限次操作后所得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)會趨向于一點(diǎn)。

注：此題從無限觀的角度考察學(xué)生對極限概念的的理解。學(xué)生容易忽視極限概念中的實(shí)無限，他們在視覺上采用無窮疊加的形式，但是會受最后一項(xiàng)的慣性思維，導(dǎo)致采用潛無限的思辨方式。所謂實(shí)無限是指把無限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過程或無窮整體。相對地，潛無限是指把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著不斷產(chǎn)生出來的東西。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在的。持有潛無限觀點(diǎn)的學(xué)生在理解極限概念時(shí)，會將極限理解為是一個(gè)漸進(jìn)過程，或是一個(gè)不可達(dá)到的極值。

通過習(xí)題，分析總結(jié)以下三個(gè)注意點(diǎn)：

（1）數(shù)列{an}有極限必須是一個(gè)無窮數(shù)列，但無窮數(shù)列不一定有極限存在；

1}可以說隨著n的無限增大，n1數(shù)列的項(xiàng)與-1會越來越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說lim??1；

n??n（2）“無限趨近”不能用“越來越接近”代替，例如數(shù)列{（3）數(shù)列{an}趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形式。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過例題與選項(xiàng)原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū)：

第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學(xué)生對于數(shù)列趨向于極限方式的錯誤認(rèn)知。第三類是對于無限的錯誤認(rèn)知。

5.課堂小結(jié)

極限的描述性定義與注意點(diǎn) 三個(gè)常用的極限

6.作業(yè)布置

1>任課老師布置的其他作業(yè)

2>學(xué)習(xí)魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義，并用該定義證明習(xí)題的第一第二小問 【設(shè)計(jì)意圖】

通過與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問題，完善極限概念的體系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)課后自主探究平臺，感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的數(shù)學(xué)家的智慧。

數(shù)列的課件(篇15)

數(shù)列(第一課時(shí))的說課稿

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：《數(shù)列(第一課時(shí))》是高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(上)第3章第一節(jié)。數(shù)列是在緊接著第二章函數(shù)之后的內(nèi)容，數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。它在教材中起著承前啟后的作用，一方面，可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識，使他們了解不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù)，還可以有自變量離散變化的函數(shù);另一方面，又可以從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)變動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，以便對數(shù)列性質(zhì)的認(rèn)識更深入一步。數(shù)列還有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用;數(shù)列還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。所以說數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。

數(shù)學(xué)思想方法分析：作為一名數(shù)學(xué)老師,不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識，因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖向?qū)W生展示嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征 ，我制定如下教學(xué)目標(biāo)：

1、基礎(chǔ)知識目標(biāo)：形成并掌握數(shù)列的概念，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式。并通過數(shù)列與函數(shù)的比較加深對數(shù)列的認(rèn)識。

2、能力訓(xùn)練目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法。

3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生在民主、和諧的共同活動中感受學(xué)習(xí)的樂趣。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵

本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材基礎(chǔ)上，我覺得本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，為了本章后面知識的學(xué)習(xí)，首先必須掌握數(shù)列的概念，其次數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列的靈魂，所以我認(rèn)為數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式是教學(xué)的重點(diǎn)。由特殊到一般，由現(xiàn)象到本質(zhì)，要學(xué)生從一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)或相鄰的幾項(xiàng)來觀察、歸納、類比、聯(lián)想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生必須通過自己的努力尋找出數(shù)列的通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系來，對學(xué)生的能力要求比較高，所以我認(rèn)為建立數(shù)列的通項(xiàng)公式是教學(xué)的難點(diǎn)。我覺得教學(xué)的關(guān)鍵就是教會學(xué)生克服難點(diǎn)，辦法是讓學(xué)生學(xué)會觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，在觀察和比較中揭示數(shù)列的變化規(guī)律。

下面，為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法和學(xué)法上談?wù)劇?/p>

四、教法

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)與啟發(fā)式的教學(xué)原則，我進(jìn)行了這樣的教法設(shè)計(jì)：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放性問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生思考，在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法，使之獲得內(nèi)心感受。

五、學(xué)法

我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因而在教學(xué)中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)。隨著《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》的頒布實(shí)施，課程改革形成由點(diǎn)到面，逐步鋪開的良好態(tài)勢。其中轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式是本次課程改革的重點(diǎn)之一。課程改革的具體目標(biāo)之一是“改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心課程之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。我以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，輔以多媒體手段，采用著重于學(xué)生探索研究的啟發(fā)式教學(xué)方法，結(jié)合師生共同討論、歸納。在課堂結(jié)構(gòu)上，我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，我設(shè)計(jì)了 ①創(chuàng)設(shè)情境——引入概念②觀察歸納——形成概念③討論研究——深化概念④即時(shí)訓(xùn)練—鞏固新知⑤總結(jié)反思——提高認(rèn)識⑥任務(wù)后延——自主探究六個(gè)層次的學(xué)法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目標(biāo)。

六、教學(xué)程序及設(shè)想

接下來，我再具體談一談這堂課的教學(xué)過程：

(一) 創(chuàng)設(shè)情境——引入概念我經(jīng)常在思考：長期以來，我們的學(xué)生為什么對數(shù)學(xué)不感興趣，甚至害怕數(shù)學(xué)，其中的一個(gè)重要因素就是數(shù)學(xué)離學(xué)生的生活實(shí)際太遠(yuǎn)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識背景出發(fā)，讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)。

1、由生活中的具體的數(shù)列實(shí)例引入：a、時(shí)間：時(shí)鐘、掛歷 b、植物：植物的莖

2、用古老的有關(guān)國際象棋的傳說引入，符合高一學(xué)生喜歡探究新奇奧妙事物的特點(diǎn)。有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(二)觀察歸納——形成概念

由實(shí)例得出幾列數(shù)，再有目的地設(shè)計(jì)，如自然數(shù)、自然數(shù)的倒數(shù)、大于零的偶數(shù)、開關(guān)(0，1，0，1，0，1，?)、“一尺之棰，日取其半，永世不竭?！币约皬?984年到2019年我國體育健兒參加六次奧運(yùn)會獲得的金牌數(shù)15，5，16，16，28，32所形成的數(shù)列，教師引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)出本課新的知識點(diǎn)：數(shù)列的定義。

(三)討論研究——深化概念

課前我精心設(shè)計(jì)的幾個(gè)數(shù)列中已經(jīng)含概了有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，等待學(xué)生觀察、討論、交流后掌握以上幾個(gè)概念。數(shù)列的相關(guān)概念：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，并且依次叫做這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(首項(xiàng))，第二項(xiàng)，…第n項(xiàng)，…。數(shù)列的一般形式可寫成：a1，a2，a3，…，an?，簡記為{an｝，其中an表示數(shù)列的第n項(xiàng)。 接著引導(dǎo)學(xué)生再觀察以上幾個(gè)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，如果數(shù)列{an｝的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 最后通過數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式的對比研究，使學(xué)生得出數(shù)列通項(xiàng)公式an=f(n)的圖象是一群孤立的點(diǎn)。 在數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n與項(xiàng)an之間存在著對應(yīng)關(guān)系。如果把項(xiàng)數(shù)n看作自變量，那么數(shù)列可以看作以自然數(shù)集(或它的有限子集{1，2，3，?，n｝)為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。當(dāng)我們把直角坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)看作項(xiàng)數(shù)n，縱坐標(biāo)看作項(xiàng)an時(shí)，我們得到的圖象就是一群孤立的點(diǎn)。

(四)即時(shí)訓(xùn)練—鞏固新知

為了使學(xué)生達(dá)到對知識的深化理解，從而達(dá)到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計(jì)了一組即時(shí)訓(xùn)練題，并且把課本的例題熔入即時(shí)訓(xùn)練題中，通過學(xué)生的觀察嘗試，討論研究，教師引導(dǎo)來鞏固新知識。

(五)總結(jié)反思——提高認(rèn)識

由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：⑴數(shù)列及其有關(guān)概念;⑵根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng);⑶根據(jù)數(shù)列的一些相鄰項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;⑷數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(數(shù)列是一種特殊的函數(shù))。讓學(xué)生通過知識性內(nèi)容的小結(jié)，把課堂教學(xué)傳授的知識盡快化為學(xué)生的素質(zhì);通過數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好的個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)。

(六)任務(wù)后延——自主探究

學(xué)生經(jīng)過以上五個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了探究數(shù)列規(guī)律的一般方法，有待進(jìn)一步提高認(rèn)知水平，因此我針對學(xué)生素質(zhì)的差異設(shè)計(jì)了有層次的訓(xùn)練題，留給學(xué)生課后自主探究，這樣既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，又使學(xué)有佘力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的。

七、簡述板書設(shè)計(jì)。

結(jié)束：以上，我僅從說教材，說學(xué)情，說教法，說學(xué)法，說教學(xué)程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。希望各位專家領(lǐng)導(dǎo)對本堂說課提出寶貴意見。

高等數(shù)學(xué)課件系列七篇

每個(gè)老師都需要在課前準(zhǔn)備好自己的教案課件，本學(xué)期又到了寫教案課件的時(shí)候了。?教師應(yīng)該在教案課件中充分展示，讓學(xué)生理解和掌握知識。我在教育網(wǎng)上找到一篇關(guān)于“高等數(shù)學(xué)課件”的文章內(nèi)容很詳盡，希望這些知識能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>

高等數(shù)學(xué)課件 篇1

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種，通常包括微積分、線性代數(shù)等內(nèi)容。它為學(xué)生提供了更深入的數(shù)學(xué)知識，為他們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究和專業(yè)發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。以下是關(guān)于高等數(shù)學(xué)的主題范文。

一、微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，其應(yīng)用范圍非常廣泛。通過學(xué)習(xí)微積分，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)對于自然科學(xué)和工程科學(xué)的重要性，以及數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。此外，微積分也是理解人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)要素之一，如牛頓與萊布尼茨的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。隨著時(shí)代的變化和數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)代微積分也經(jīng)歷了很多新的變化和應(yīng)用，如微分方程和復(fù)變函數(shù)。

二、線性代數(shù)是另一個(gè)重要的高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它將數(shù)學(xué)的概念與實(shí)際的科學(xué)和工程應(yīng)用結(jié)合起來。學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，他們將會掌握矩陣的基本概念，矩陣方程，向量空間，線性變換，歐幾里得空間等重要概念。線性代數(shù)也是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛的領(lǐng)域，因?yàn)樗鼘τ谔幚泶罅繌?fù)雜和抽象的數(shù)據(jù)有著重要的方法和工具。

三、高等數(shù)學(xué)的Calculus（微積分）和Linear Algebra（線性代數(shù)）是現(xiàn)代科學(xué)和工程的基礎(chǔ)。這些數(shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握將使得學(xué)生們在科學(xué)領(lǐng)域中更加成功。學(xué)生不僅要掌握計(jì)算技能，更重要的是理解概念和理論的物理和幾何意義。在應(yīng)用和計(jì)算方面，學(xué)生還需要熟練掌握數(shù)學(xué)軟件和工具，如MATLAB, Maple等。

四、高等數(shù)學(xué)教育是大學(xué)教育中最重要的組成部分之一，它不僅為自然科學(xué)和工程學(xué)科的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，而且也為其他領(lǐng)域的理論和應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具。高等數(shù)學(xué)不僅為理解和探究自然界和人類文化提供了基礎(chǔ)，而且還為學(xué)生的個(gè)人發(fā)展和成就提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。因此，高等數(shù)學(xué)教育的重要性在當(dāng)今社會中變得越來越明顯，我們應(yīng)該重視數(shù)學(xué)教育，并為學(xué)生提供更好的數(shù)學(xué)教育資源和機(jī)會。

五、高等數(shù)學(xué)教育應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生們對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。要實(shí)現(xiàn)這一目的，教育者應(yīng)該采用更多的探究式學(xué)習(xí)方法和應(yīng)用例子來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的重要性。同時(shí)，教育者應(yīng)該鼓勵學(xué)生們利用數(shù)學(xué)知識，為社會做出更大的貢獻(xiàn)。

總而言之，高等數(shù)學(xué)教育是大學(xué)教育的重要組成部分。學(xué)生通過學(xué)習(xí)微積分和線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識，將會掌握更深入的數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用，從而對自然科學(xué)和工程學(xué)科的發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn)。教育者應(yīng)該注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，同時(shí)鼓勵學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識為社會創(chuàng)造更大的價(jià)值。

高等數(shù)學(xué)課件 篇2

高等數(shù)學(xué)課件是一種重要的教學(xué)資源，能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力。在現(xiàn)代教育中，教育技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，使得教師能夠使用多種形式的教學(xué)資源，包括課件等。因此，高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用已經(jīng)成為了現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。

高等數(shù)學(xué)課件的編寫需要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和教學(xué)目標(biāo)。在編寫課件時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容、學(xué)生的知識水平、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，以達(dá)到最好的教學(xué)效果。由于高等數(shù)學(xué)的知識層次較為復(fù)雜，因此編寫高等數(shù)學(xué)課件時(shí)需要充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知模式和學(xué)習(xí)習(xí)慣，力求讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

高等數(shù)學(xué)課件應(yīng)具備以下幾個(gè)方面的要求：

一、準(zhǔn)確性。高等數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)確性是基本要求，因?yàn)槿魏我粋€(gè)錯誤的公式或概念，都會對學(xué)生成長和知識的累積產(chǎn)生負(fù)面影響。因此在編寫和使用高等數(shù)學(xué)課件時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格控制內(nèi)容的準(zhǔn)確性，確保學(xué)生能夠掌握正確的知識和技能。

二、清晰性。高等數(shù)學(xué)是一門較為抽象的學(xué)科，對于學(xué)生來說，掌握數(shù)學(xué)知識本身就需要花費(fèi)較大的認(rèn)知代價(jià)。因此，在編寫和使用高等數(shù)學(xué)課件時(shí)，應(yīng)力求將知識的概念和原理表達(dá)得盡可能清晰和易懂，避免出現(xiàn)模糊或難以理解的語言和表達(dá)方式。

三、實(shí)用性。高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用應(yīng)力求貼近實(shí)際問題和應(yīng)用情境，幫助學(xué)生理解知識的實(shí)際應(yīng)用場景和方法，培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力。

四、適用性。高等數(shù)學(xué)課件的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)考慮到不同年級、不同層次、不同專業(yè)學(xué)生的不同需求，盡可能做到適用性的設(shè)計(jì)，以便保持高效和靈活性。

在高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用中，應(yīng)盡可能滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)化課程知識的建設(shè)和教學(xué)策略的完善，以提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量和水平。同時(shí)，高等數(shù)學(xué)課件的編寫和使用應(yīng)在保持教學(xué)質(zhì)量和效果的同時(shí)，適應(yīng)教育技術(shù)的不斷創(chuàng)新和進(jìn)步，推動教學(xué)模式和教學(xué)流程的優(yōu)化和升華。

高等數(shù)學(xué)課件 篇3

高等數(shù)學(xué)課件

高等數(shù)學(xué)課程對于大多數(shù)理工科學(xué)生來說，是必修課程中的一門重要課程。這門課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容極其豐富，包括了微積分、線性代數(shù)、常微分方程等方面的知識。為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程，課件是一個(gè)非常有效的學(xué)習(xí)工具。

一、高等數(shù)學(xué)課程概述

高等數(shù)學(xué)課程是大多數(shù)理科學(xué)生必修的一門學(xué)科，主要包括微積分、線性代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)分析等內(nèi)容，是研究各種現(xiàn)代科學(xué)問題所必需的一種重要工具。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力、提高科學(xué)研究能力、提高綜合素質(zhì)都具有重要的作用。

二、高等數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)

針對高等數(shù)學(xué)課程的課件設(shè)計(jì)，應(yīng)該根據(jù)課程大綱進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其能夠幫助學(xué)生更好地掌握重點(diǎn)難點(diǎn)知識，同時(shí)使學(xué)生能夠通過課件進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。以下是高等數(shù)學(xué)課件設(shè)計(jì)的幾個(gè)方面：

1.內(nèi)容分析：對于高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容進(jìn)行分析，并提取重點(diǎn)難點(diǎn)知識點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供有針對性的指導(dǎo)。

2.教學(xué)方法：針對不同的知識點(diǎn)，采用不同的教學(xué)方法，如實(shí)例分析、問題導(dǎo)向、知識鏈接等。

3.學(xué)習(xí)工具：為學(xué)生提供學(xué)習(xí)工具，如習(xí)題集、在線視頻、強(qiáng)化訓(xùn)練等，使學(xué)生能夠更好地進(jìn)行練習(xí)、鞏固知識點(diǎn)。

4.互動方式：采用互動方式，使學(xué)生與教師之間、學(xué)生與學(xué)生之間能夠進(jìn)行有效溝通，交流經(jīng)驗(yàn)，靈活開展學(xué)習(xí)。

三、高等數(shù)學(xué)課件的優(yōu)點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)課件的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 圖像直觀：高等數(shù)學(xué)中的許多數(shù)學(xué)模型，通過課件能夠通過圖表等形式進(jìn)行展現(xiàn)，使學(xué)生能夠直觀地理解相關(guān)內(nèi)容，加深對概念的理解。

2. 動態(tài)演示：高等數(shù)學(xué)涉及到的許多計(jì)算過程和公式，通過課件進(jìn)行動態(tài)演示，使學(xué)生能夠更加深入理解相關(guān)內(nèi)容。

3. 學(xué)習(xí)效率高：通過課件，學(xué)生能夠自主選擇學(xué)習(xí)時(shí)間和地點(diǎn)，以及自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，靈活性較大，學(xué)習(xí)效率能夠得到極大提高。

4. 綜合性強(qiáng)：高等數(shù)學(xué)課件能夠?qū)⒉煌鹿?jié)的內(nèi)容連接在一起，形成一個(gè)完整的知識體系，使學(xué)生能夠更好地進(jìn)行全面學(xué)習(xí)。

高等數(shù)學(xué)課件的設(shè)計(jì)和應(yīng)用對于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、知識掌握和綜合能力的提升都具有重要意義。針對高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)和學(xué)生的需求，需要有相應(yīng)的課件設(shè)計(jì)方案，能夠滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和課程質(zhì)量。

高等數(shù)學(xué)課件 篇4

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，包含微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等模塊。學(xué)生們通過上這門課，能夠系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論、方法和技能，為未來的學(xué)術(shù)研究和職場實(shí)踐打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

一、微積分模塊

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，由導(dǎo)數(shù)、微分、積分三部分組成。學(xué)生們需要掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值、凹凸性等概念，了解微分的意義、性質(zhì)和應(yīng)用，學(xué)會積分方法和應(yīng)用。除此之外，微積分還與其他學(xué)科緊密相關(guān)，在物理、工程、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。

二、線性代數(shù)模塊

線性代數(shù)是研究向量空間、線性變換、矩陣、行列式等數(shù)學(xué)對象的學(xué)科。它在數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，如圖像處理、信號處理、電路設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生們需要理解向量空間的含義和性質(zhì)，了解線性變換和矩陣的運(yùn)算規(guī)律，掌握行列式計(jì)算和線性方程組的求解等基礎(chǔ)知識和技能。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模塊

概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科。概率論研究事件的可能性和發(fā)生規(guī)律，數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究數(shù)據(jù)的收集、整理和分析。這兩個(gè)學(xué)科廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、工程等領(lǐng)域。學(xué)生們需要理解基本概率概念和概率公式，掌握概率分布和隨機(jī)變量的性質(zhì)，以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法和應(yīng)用。

四、高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法和教材

高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法和教材的選擇對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和興趣培養(yǎng)都有重要影響。一般來說，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)該以理論與實(shí)踐相結(jié)合為原則，加強(qiáng)計(jì)算和分析能力的訓(xùn)練，增加實(shí)例和案例的引入，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣。教材要選擇權(quán)威、系統(tǒng)、具有實(shí)用價(jià)值和啟迪性的作品，如《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)及其應(yīng)用》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等。

總之，高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容，學(xué)生們需要全面學(xué)習(xí)微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和方法，為將來的學(xué)術(shù)研究和職場實(shí)踐打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)課件 篇5

高等數(shù)學(xué)教案

課程的性質(zhì)與任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的與要求

18學(xué)時(shí)

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集。空集?： ??A2、集合的運(yùn)算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補(bǔ)集AC：

集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對X中的每一個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則f

2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數(shù)

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??

2、函數(shù)的幾種特性

?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域?yàn)镈1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運(yùn)算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)

5、初等函數(shù)：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的

1)冪函數(shù)：y?xa

2)指數(shù)函數(shù)：y?ax

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數(shù)

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx

作業(yè)： 同步練習(xí)冊練習(xí)一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號。

2）序列中有無限多個(gè)成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數(shù)列??是這樣一個(gè)數(shù)列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價(jià)表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a0，當(dāng)n>N時(shí)，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在x0點(diǎn)的極限

1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個(gè)??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x)有一個(gè)總趨勢-----以某個(gè)實(shí)數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、x??的極限

設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)?的左右極限：

f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個(gè)號碼N，使在這個(gè)號碼以后的所有的號碼n，相應(yīng)的xn與極限0的距離比這個(gè)給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負(fù)無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負(fù)無窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn?0時(shí)：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個(gè)變化過程中

第五節(jié)：極限運(yùn)算法則

1、無窮小的性質(zhì)

設(shè)?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個(gè)無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個(gè)無窮小量的積是一個(gè)無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算

1、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限，則對任何常數(shù)a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當(dāng)x?u(x0,?0)時(shí)，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個(gè)號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價(jià)?～?

1、若?,?為等價(jià)無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性

函數(shù)f在點(diǎn)x0連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時(shí)裝意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點(diǎn)

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點(diǎn)：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。、第二類間斷點(diǎn)x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個(gè)不存在

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。

注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件?g?Df，若函數(shù)g在點(diǎn)x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點(diǎn)u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f?g在點(diǎn)x0連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說它是某個(gè)點(diǎn)x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。

有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。

三、零點(diǎn)、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個(gè)點(diǎn)?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點(diǎn)

零點(diǎn)定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個(gè)端點(diǎn)異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個(gè)零點(diǎn)??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個(gè)中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。

高等數(shù)學(xué)課件 篇6

§8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因?yàn)閦?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因?yàn)閡??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當(dāng)t取得增量?t時(shí)? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)

?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導(dǎo)數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導(dǎo)數(shù)?

dt

2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(diǎn)(x? y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z??z??u??z??v??z??w

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？

?y?x

提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？

?y?x?f?f?f?f

提示? ?z??u?? ?z??u??

?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導(dǎo)數(shù)? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類似

?y?y?x的區(qū)別?

3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(diǎn)(x? y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z?dv

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

?z

例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?

?x?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?

?y?x

?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f

?u????z

?y?y?z?y

?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)dz?

dt

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 求及? ?x?z?x

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?

引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?

2?

?x?u?x?v?x12?f??f?

?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式?

注?

2?2u?

?(1)(?u)2?(?u)2?

(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得

???u???ux?uy?u??uysin??co?s???

?u??u?

?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????

?u??u?

????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得

2??(?u)?????(?u)??? ?

u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin

?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??

?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得

22222?u?u?u11?u1??u?

2?2?2???22?2[?(?)?u]?

??????2?x?y???????

全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點(diǎn)P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

dy等式兩邊對x求導(dǎo)得 ?F??F??0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個(gè)鄰域? 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 Fdy??x?

dxFy

例1 驗(yàn)證方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?

dx2y2y2y3ydx2x?0

2隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個(gè)二元方程F(x? y)?0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)? 一個(gè)三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點(diǎn)P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(diǎn)(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?

?y?x因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(diǎn)(x0? y0? z0)的一個(gè)鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz?2z

例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 求2?

?x

解

設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個(gè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u?yx?

v??

x2?y2x2?y2y 事實(shí)上?

xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?

yyx?yyv?x?22?2x2?

yx?yx?y

如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列

?F?(F,G)?u式：

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)

?u??1??xv?

?v??1??ux?

?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????

?u??1?

?v??1?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?y?x?x?y 解 兩個(gè)方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u??22? ?v?22?

?xx?y?xx?y

兩個(gè)方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u?22? ?v??22?

?yx?y?yx?y

另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx

?? 即??

udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?

x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?

x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(diǎn)(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?

又

?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)

(1)證明方程組

?

y?y(u,v)?在點(diǎn)(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導(dǎo)數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設(shè)

J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

?x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

J?u?xJ?v?x

同理? 可得

?u??1?x?v?1?x

? ?

?yJ?v?yJ?u

§8? 6

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

一?

空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)?

在曲線?上取對應(yīng)于t?t0的一點(diǎn)M0(x0? y0? z0)及對應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點(diǎn)M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當(dāng)點(diǎn)M沿著?趨于點(diǎn)M0時(shí)割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0

? ???x?y?z?t?t?t當(dāng)M?M0? 即?t?0時(shí)? 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量?

法平面? 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點(diǎn)M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(diǎn)(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因?yàn)閤t??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(diǎn)(1? 1? 1)所對應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

x?1?y?1?z? ?

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

x?1?y?2?z?1

?

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

在點(diǎn)(1? ?2? 1)處?

二? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點(diǎn)?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零? 在曲面?上? 通過點(diǎn)M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應(yīng)于點(diǎn)M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點(diǎn)的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因?yàn)榍€?是曲面?上通過點(diǎn)M0的任意一條曲線? 它們在點(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上? 這個(gè)平面稱為曲面?在點(diǎn)M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點(diǎn)M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(diǎn)(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

y?2z?3?法線方程為x?1??

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時(shí)F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

x?2?y?1?z?4法線方程為 ?

42?1§8? 7

方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點(diǎn)的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點(diǎn)? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當(dāng)P沿著l趨于P0(即t?t0?)時(shí)的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向?qū)?shù)的計(jì)算?

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??

tt?0?這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向?

沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

?f?f??

沿x軸正向時(shí)? cos???? cos??0?

?l?x?f?f 沿x軸負(fù)向時(shí)? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x2y

例1 求函數(shù)z?xe在點(diǎn)P(1? 0)沿從點(diǎn)P(1? 0)到點(diǎn)Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(1, ?1)?

22? 因?yàn)楹瘮?shù)可微分? 且?z?x所以所求方向?qū)?shù)為

(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??

?z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(diǎn)(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因?yàn)楹瘮?shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?

2222(1,1,2)

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點(diǎn)P0(x0? y0)?D? 都可確定一個(gè)向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當(dāng)向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時(shí)? 方向?qū)?shù)

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個(gè)最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量? 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

?f

討論? 的最大值?

??l

結(jié)論? 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個(gè)曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點(diǎn)? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時(shí)為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點(diǎn)P0(x0? y0)處的一個(gè)單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 而沿這個(gè)方?f向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0? y0)|? 于是

?n?f

grafd(x0,y0)?n?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個(gè)向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進(jìn)曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

1?

x2?y2 解 這里f(x,y)?212?

x?y 例3 求grad

因?yàn)? ?f?f2y??22x22? ??222?

?x?y(x?y)(x?y)2y所以

gra d212??22x22i?222j?

x?y(x?y)(x?y)

例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M? 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個(gè)數(shù)量場可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點(diǎn)M相對應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(例如力場、速度場等)? 一個(gè)向量場可用一個(gè)?向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場的勢? 而這個(gè)向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個(gè)向量場不一定是勢場? 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0?

rr?x2?y2?z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?

解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理

?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而

gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?

rrrrr2r

上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)? 因此數(shù)量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數(shù)m稱為引力勢?

r

r§8?8

多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(diǎn)(0? 0)處有極小值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(diǎn)(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)? 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(diǎn)(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有不等式

f(x? y)特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點(diǎn)? 也應(yīng)有不等式f(x? y0)這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有fx(x0? y0)?0?類似地可證fy(x0? y0)?0?從幾何上看? 這時(shí)如果曲面z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z?z0?類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點(diǎn)?從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)? 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)??例如? 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值??定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?(1)AC?B2>0時(shí)具有極值? 且當(dāng)A0時(shí)有極小值?(2)AC?B20? 則函數(shù)具有極值? 且當(dāng)fxx0時(shí)有極小值?極值的求法?第一步 解方程組fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?求得一切實(shí)數(shù)解? 即可得一切駐點(diǎn)?第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0? y0)? 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C?第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值??fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點(diǎn)為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?再求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?在點(diǎn)(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?在點(diǎn)(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)0? 又A0? y>0}內(nèi)取得? 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)? 即當(dāng)水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 水箱所用的材料最省??2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時(shí)? 所用材料最省? ?2?從這個(gè)例子還可看出?在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標(biāo)函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x? ?)?令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為?12?2x?xcos??0??2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2??這個(gè)問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個(gè)條件極值問題?對于有些實(shí)際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題??例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得2(x?y)2V?xy(a?2xy)?2(x?y)只需求V的無條件極值問題?在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有?(x0? y0)?0?假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標(biāo)函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]?于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點(diǎn)? 由取得極值的必要條件? 有dy?0?dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0??y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時(shí)成立??y(x0,y0)fy(x0,y0)設(shè)???? 上述必要條件變?yōu)?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0????(x0,y0)?0拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點(diǎn)? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?其中?為某一常數(shù)?然后解方程組?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0????(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點(diǎn)?這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形?至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)? 在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件2(xy?yz?xz)?a2下求函數(shù)V?xyz的最大值?構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?解方程組?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0??z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?6這是唯一可能的極值點(diǎn)?因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得? 此時(shí)V?6a3?

高等數(shù)學(xué)課件 篇7

-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?

1-----高等數(shù)學(xué)教案-----

n2.變速直線運(yùn)動的路程: 設(shè)速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個(gè)小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點(diǎn)?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學(xué)教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設(shè)y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個(gè)小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個(gè)小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點(diǎn)?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果

lim?f(?i)?xi

??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

則稱此極限為f(x)?i點(diǎn)的取法，在[a , b]上的定積分，記為

f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即

b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上

-----高等數(shù)學(xué)教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：

①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則

b? af(x)dx?s

(S是曲邊梯

-----高等數(shù)學(xué)教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s

(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負(fù)，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

①當(dāng)a?b時(shí)，? af(x)dx?0.a?b

②當(dāng)時(shí)，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)：

①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則

b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則

b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則

b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設(shè)m?f(x)?M，則

bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得

m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

b故在[a , b]上至少存在一點(diǎn)?，使得

b? af(x)dx?f(?)b?a即

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實(shí)數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，所以

12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即

? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習(xí)1.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式

1.積分上限的函數(shù)(變上限

-----高等數(shù)學(xué)教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱

x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導(dǎo)，且

xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導(dǎo)數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2

x?limx???1?

2-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?

3.?? ?(x)f(t)dt?

?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd

例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例

15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22

-----高等數(shù)學(xué)教案-----例6.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:

x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當(dāng)x?(a , b)時(shí)，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x

f(x)?f(?)?(x?a)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以

f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于

?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得

C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即

?(b)?? af(x)dx

?F(b)?F(a)

?F(x).ba

-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: 因

?1

1例7.? ?2dx?lnx?2

x?ln1?ln2 ??ln2.?1

例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx

221xx?(x?)0?(?x)22

?1.例9.設(shè)

?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達(dá)式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學(xué)教案 6 ,-----

:

2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?

例10.求

x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達(dá)式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x

tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法

-----高等數(shù)學(xué)教案-----1.定積分的換元法:

b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1

3-----高等數(shù)學(xué)教案-----例 例

?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12

?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

sin2tcostdt

2? 例

??2 ? cottdt

4?? ?2(csc2 ?t?1)dt

4?(?cott?t)?2?

4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx

??? ?5 02cosxdcosx

?(?16?6cosx)20

?16.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

4.例5.? 0x(2?x)dx

12421??? 0(2?x)d(2?x)2

25111

??[(2?x)]0

2531

?.102.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則

a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12

4-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0

??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所

以

a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx

?2? 0f(x)dx.a3.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且

a為奇函數(shù)，則

? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以

xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x

-----高等數(shù)學(xué)教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122

312?[(arctanx)]0

332??()3496例8.設(shè)f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:

??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx

? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0

??f(cost)dt

?2 0??f(cosx)dx.?2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----證: ? 0xf(sinx)dx

0 x???t ? ?(??t)f(sint)?

?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt

??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得

.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達(dá)式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)

??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得

x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得

?x ef(x)?1，x x 0?ux

-----高等數(shù)學(xué)教案-----即

f(x)?e.4.定積分的分部積分法:

x

? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b

例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx

5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx

x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?

T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx

af(x)dx

x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以

? a a?T 0f(x)dx?

T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設(shè)f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)

bh?0h a證: 設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，則

b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設(shè)f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且

??t

? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且

b

???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且

b

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號:

??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，??? af(x)dx?F(??)?F(a)

?[F(x)].??a

-----高等數(shù)學(xué)教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)存在時(shí)，b???f(x)dx?F(b)?F(??)

?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當(dāng)F(??)與F(??)都存在時(shí)，?????f(x)dx?F(??)?F(??)

?[F(x)].????例1.判斷反常積分

???x? 0xedx

2-----高等數(shù)學(xué)教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11

?xlim(?e)? ???221 ?.2

例2.判斷反常積分

?1? ??cosxdx

22的斂散性.解: 原式?(sinx)

?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???

-----高等數(shù)學(xué)教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當(dāng)???1時(shí)發(fā)散.例4.判斷反常積分

? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?1所以反常積分時(shí)收斂，當(dāng) 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0

????

22??.? 1 ??

例5.判斷反常積分

1dx

2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么稱點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).4.無界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設(shè)f(x)在(a , b]上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設(shè)f(x)在[a , b)上連續(xù)，點(diǎn)b為f(x)的瑕點(diǎn)，t?b.如果

blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在[a , b]上除點(diǎn)c(a?c?b)外連續(xù)，點(diǎn)c為f(x)的 b

-----高等數(shù)學(xué)教案-----瑕點(diǎn).如果兩個(gè)反常積分

b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則

b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號: ①設(shè)F(x)為f(x)在(a , b]上的一個(gè)原函數(shù)，a為f(x)的瑕點(diǎn)，則

b? af(x)dx?F(b)?limF(x)

x?a??[F(x)].ba

-----高等數(shù)學(xué)教案-----②設(shè)F(x)為f(x)在[a , b)上的一個(gè)原函數(shù)，b為f(x)的瑕點(diǎn)，則

b? af(x)dx?limF(x)?F(a)

x?b??[F(x)].ba

例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x

x ?0?10??1.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx

?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1

??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當(dāng)??1x時(shí)收斂，當(dāng)??1時(shí)發(fā)散.11

例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx

xx 1

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

單數(shù)雙數(shù)課件系列7篇

教案課件是老師需要精心準(zhǔn)備的，但老師也要清楚教案課件不是隨便寫寫就行的。做好教案課件的前期設(shè)計(jì)，才能按質(zhì)按量地達(dá)到預(yù)期教學(xué)目標(biāo)，教案教案會包含哪些部分？關(guān)于“單數(shù)雙數(shù)課件”以下是我為您撰寫的一些相關(guān)內(nèi)容，希望我的意見能夠?qū)δ阌兴鶐椭堄浀脤⑺詹仄饋恚?/p>

單數(shù)雙數(shù)課件 篇1

活動目標(biāo)

1.在游戲中復(fù)習(xí)10以內(nèi)的單雙數(shù)，知道單雙數(shù)的含義。

2.能熟練區(qū)別單雙數(shù)，并會用標(biāo)記表示。

3.體驗(yàn)分組活動的樂趣，知道如何整理自己的操作材料。

活動準(zhǔn)備

課件；點(diǎn)卡、動物卡、數(shù)字卡若干；鉛筆、夾子若干。

活動過程

一、幫小動物找朋友，知道單雙數(shù)師：美麗的春天來了，許多小動物到草地上來玩游戲，看看是誰呀？看ppt（小烏龜、小狗、小蜜蜂）1．看看小烏龜有幾只？用數(shù)字幾表示？（5）2．小狗有幾只？用數(shù)字幾表示？小蜜蜂有幾只？用數(shù)字幾表示？

3．他們是雙數(shù)還是雙數(shù)呢？你怎么知道？

4．小烏龜請小朋友幫他找找好朋友。（請一幼兒上去拖小烏龜）多出來一只小烏龜了，我們說5只小烏龜是單數(shù)。

5．小狗呢？他是單數(shù)還是雙數(shù)？誰來幫他們找朋友？（請一幼兒上去拖小狗）小狗說謝謝你，有沒有幫他們都找到朋友？所以6只小狗是雙數(shù)。

6．小蜜蜂著急了，他也想來找朋友，看看自己是單數(shù)還是雙數(shù)，誰來幫助他們？（請一幼兒上去拖小蜜蜂）現(xiàn)在小蜜蜂2個(gè)2個(gè)地都找到朋友了嗎？像7只小蜜蜂這樣的數(shù)叫單數(shù)。

二、練習(xí)鞏固師：還有一些小動物也來參加我們的游戲了，想知道他們是誰嗎？看看你認(rèn)識他們嗎？是哪些小動物呢？他們要玩一個(gè)“小動物找家”的游戲，你們會幫他們嗎？

1．游戲規(guī)則：請你們把單數(shù)的小動物放進(jìn)“單數(shù)”的家，把雙數(shù)的小動物送進(jìn)“雙數(shù)”的家。

2．請一幼兒操作3．小動物們都回家了嗎？我們來檢查一下（檢查工具）4．小點(diǎn)子也想?yún)⒓佑螒?，你能不能幫他找到自己的家？（請一幼兒操作、檢查）5．?dāng)?shù)字寶寶可著急了，他們也想回家。瞧，他們來啦，你愿意幫他們嗎？把單數(shù)寶寶送到單數(shù)寶寶家，把雙數(shù)寶寶送到雙數(shù)寶寶家。（請幼兒講，教師送，然后檢查）四、游戲鞏固1．師：今天老師帶來了許多卡片寶寶，這些卡片寶寶也想和小朋友一起玩游戲，想來考考我們小朋友的小耳朵、小手能干不能干，你們準(zhǔn)備好了嗎？

2．師：請你們上來拿一張卡片，卡片上面是單數(shù)。（幼兒到簍子里拿一張卡片）看看你的卡片上是幾？是單數(shù)還是雙數(shù)？

3．師：請你們上來拿一張卡片，卡片上面是雙數(shù)。誰能告訴大家：你找到的'是幾？看看你旁邊的找朋友拿得對不對？

4．聽要求舉卡片，然后把卡片送回家休息。

五、作業(yè)鞏固1．師：老師在后面還準(zhǔn)備了很多游戲：

第一組：上面是點(diǎn)子卡片，用筆把這些點(diǎn)子2個(gè)2個(gè)地連一連，然后在下面的單雙數(shù)上做選擇。

第二組：這是動物卡片，用筆把這些點(diǎn)子2個(gè)2個(gè)地連一連，然后在下面的單雙數(shù)上做選擇。

第三組：這是數(shù)字卡片，上面有兩條數(shù)字，但是要求不一樣，上面一條數(shù)字下面有幾個(gè)記錄框，旁邊有幾個(gè)點(diǎn)子？（1個(gè)）是單數(shù)還是雙數(shù)？請你在這一條數(shù)字下面的對應(yīng)框里打勾。下面一條數(shù)字是找單數(shù)還是找單數(shù)？請你來找一找好嗎？

2．要求：小朋友每人掛一個(gè)夾子，做好一個(gè)作業(yè)就夾在夾子上帶走，每個(gè)作業(yè)都要去做一做?？凑l完成得又快又對。

3．幼兒作業(yè)4．集體作業(yè)：

看，剛才有一個(gè)小朋友在這里玩游戲呢，我們來檢查一下，看看他做得對不對？（ppt）先干嘛？（找好朋友）說一說是單數(shù)還是單數(shù)？為什么？在什么后面打鉤？

5．相互檢查作業(yè)

活動目標(biāo)：

1、通過操作、游戲，要求幼兒能迅速區(qū)別出10以內(nèi)的單數(shù)、雙數(shù)。

2、幼兒的動手、分辨能力，發(fā)展幼兒思維的靈活性。

活動準(zhǔn)備：

幾何圖形掛件一人一個(gè)，數(shù)字卡片，演示教具，魔術(shù)卡每人一張活動過程：

一、帶幼兒進(jìn)知識宮，激發(fā)幼兒的興趣。

師：今天老師要帶小朋友到知識宮去玩。在知識宮，老師要給小朋友好多禮物，但這些禮物一定要小朋友動腦筋才能夠得到。第一份禮物需根據(jù)自己掛著的圖形和圖形上的數(shù)字找座位，找到了，這個(gè)圖形就作為第一份禮物送給你們。

二、復(fù)習(xí)單數(shù)和雙數(shù)。

1、通過觀察，繼續(xù)感知什么是單數(shù)，什么是雙數(shù)。

師：小朋友真聰明，都找到了座位。（演示教具）大家仔細(xì)看一看上面有些什么，他們排隊(duì)有什么不同。（6條魚，5只烏龜）幼兒回答，教師歸納。

2、思考：你們掛著的圖形上哪些數(shù)是單數(shù)，哪些數(shù)是雙數(shù)？

3、游戲：抱一抱（1）規(guī)則：教師任一出示1—10中的一個(gè)數(shù)字，幼兒根據(jù)數(shù)字做相應(yīng)的動作。（單數(shù)——自己抱一抱，雙數(shù)兩個(gè)人抱一起）（2）游戲反復(fù)進(jìn)行，教師不斷變化數(shù)字，期間問幼兒為何要自己抱住自己或兩個(gè)人抱在一起的理由。

三、變魔術(shù)：

師：小朋友真了不起，知識宮的問題都難不到你們?，F(xiàn)在我們一起來變一個(gè)魔術(shù)好嗎？變出來了呢，就作為第二份禮物送給你們，現(xiàn)在聽好老師告訴你們怎么變。

四、開火車游戲，出知識宮。

單數(shù)雙數(shù)課件 篇2

活動名稱：

數(shù)學(xué)《10以內(nèi)的單雙數(shù)》

活動目標(biāo)：

1，理解10以內(nèi)單雙數(shù)的含義，區(qū)分物品數(shù)量的單雙，了解單雙數(shù)在生活中的運(yùn)用。

2，感受10以內(nèi)單雙數(shù)的排列規(guī)律，初步嘗試辨別簡單兩位數(shù)的單雙數(shù)。

3，能愉快、積極地參與數(shù)學(xué)活動，鍛煉思維的靈活性。

活動重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解10以內(nèi)單雙數(shù)的含義，了解單雙數(shù)在生活中的運(yùn)用。

難點(diǎn)：感受單雙數(shù)的排列規(guī)律，初步嘗試辨別簡單兩位的單雙數(shù)。

活動準(zhǔn)備：

多媒體課件、超市代幣券操作卡，超市物品圖片若干，彩筆(同幼兒數(shù))，標(biāo)有價(jià)格的超市物品(同幼兒數(shù))，單、雙標(biāo)識卡，貨物架。

活動過程：

一、創(chuàng)設(shè)2元超市購物游戲，引起幼兒活動興趣。

1.出示2元超市貨架，引起幼兒興趣，了解2元超市的特點(diǎn)。

2.出示5元代幣券，引導(dǎo)幼兒嘗試“怎樣在2元超市購物”。

二、幼兒在操作中，初步體驗(yàn)、感受10以內(nèi)的單雙數(shù)。

1.幼兒操作代幣券在2元超市購物，初步了解單雙數(shù)的不同。

教師與幼兒個(gè)別交流后，請幼兒說一說:

哪些代幣券有剩余錢幣？哪些代幣券沒有剩余？

2.出示紅、藍(lán)房子，幫數(shù)字找家，區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。

幼兒操作：將單、雙數(shù)代幣券分別歸類到紅(單數(shù))、綠(雙數(shù))的房子里。

(幼兒操作白板課件)

總結(jié)規(guī)律：2個(gè)2個(gè)數(shù)，都有好朋友，就是雙數(shù)。2個(gè)2個(gè)數(shù)，剩下1個(gè)孤孤單單的就是單數(shù)。

3.通過尋找自己身體上的單、雙數(shù)，鞏固對單、雙數(shù)的認(rèn)識。

三、了解單、雙數(shù)的排列規(guī)律。

出示1-10數(shù)字，初步發(fā)現(xiàn)單、雙數(shù)的間隔排列規(guī)律。

小結(jié)：一個(gè)單數(shù)，一個(gè)雙數(shù)，單雙單雙，永遠(yuǎn)都是好朋友，交替排列。

四、“超市理貨員”游戲，加深鞏固幼兒對單雙數(shù)的理解、區(qū)分。初步掌握簡單兩位數(shù)單雙數(shù)的區(qū)分。

1.就“超市理貨員”游戲進(jìn)行評析：“是否按照價(jià)格是單數(shù)還是雙數(shù)擺放的物品”？

2.引導(dǎo)幼兒觀察1和11，2和12，尋找其規(guī)律。

小結(jié)：10以上的數(shù)字，不論大小，只要看這個(gè)數(shù)字的尾數(shù)，就能判斷是單數(shù)還是雙數(shù)。尾數(shù)是單數(shù)，這個(gè)數(shù)就是單數(shù)；尾數(shù)是雙數(shù)，這個(gè)數(shù)就是雙數(shù)。

3.請幼兒對“13、14”進(jìn)行單雙數(shù)的區(qū)分

引導(dǎo)幼兒用“尾數(shù)是什么數(shù)這個(gè)數(shù)就是什么數(shù)”的規(guī)律來區(qū)分、驗(yàn)證單雙數(shù)。

五、拓展幼兒經(jīng)驗(yàn)，感受生活中的單雙數(shù)。

引導(dǎo)說一說生活中用到的單雙數(shù)，進(jìn)一步拓展幼兒對生活中單雙數(shù)運(yùn)用的認(rèn)識。

延伸活動：

引導(dǎo)幼兒繼續(xù)找一找生活中的單雙數(shù)，了解在我們生活中的重要性。

活動反思：

本次活動主要是讓幼兒能夠初步建立單雙數(shù)概念，學(xué)習(xí)區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。單雙數(shù)是比較抽象的概念，只靠說教給幼兒很難區(qū)分。我以《逛超市》的游戲情境貫穿于整個(gè)活動始終，讓幼兒在富有生活氣息的游戲中輕松掌握單雙數(shù)的概念，在操作中區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。

1.生活化、游戲化情境，有效激發(fā)幼兒學(xué)習(xí)興趣。

通過幼兒已有的“購物”生活經(jīng)驗(yàn)引入主題，再進(jìn)一步嘗試“2元購物”這一特有形式激發(fā)幼兒參與的積極性。

2.緊扣活動目標(biāo)，有效設(shè)置活動環(huán)節(jié)。

從學(xué)習(xí)“如何使用5元代幣券到2元超市購物”到“我們也到2元超市”；從“你的代幣券剩下了嗎？”到“相同的是買到了一樣多的東西，不同的是3元代幣券剩下1個(gè)，4元代幣券沒有剩下”這些有效環(huán)節(jié)的設(shè)置，使幼兒對單雙數(shù)概念的理解、掌握更具象、容易。

3.準(zhǔn)確把握教學(xué)語言，形成了有效的師生互動。

提供有效的操作材料，注重引導(dǎo)幼兒與教師、同伴以及材料之間的互動，促進(jìn)幼兒主動建構(gòu)知識。通過操作、比較、尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程理解掌握單雙數(shù)的概念。

4.定位準(zhǔn)確的拔高拓展。

在幼兒掌握規(guī)律的基礎(chǔ)上，對簡單的兩位數(shù)(11-14)進(jìn)行單雙數(shù)的區(qū)分。此過程既對幼兒掌握概念后的應(yīng)用進(jìn)行了驗(yàn)證，又避免過度拔高，小學(xué)化傾向的出現(xiàn)。

單數(shù)雙數(shù)課件 篇3

一活動目標(biāo)：

1.在活動中理解單數(shù)和雙數(shù)的含義。

2.能區(qū)分10以內(nèi)的單數(shù)和雙數(shù)。

二活動準(zhǔn)備：

1幼兒自己制作的瓢蟲（人手一個(gè)），記錄紙

2大瓢蟲（背上沒有黑點(diǎn)），筆、數(shù)字卡

三活動過程：

1單數(shù)和雙數(shù)

教師借助大瓢蟲告訴孩子，大瓢蟲身上的黑點(diǎn)能兩兩對應(yīng)的，那么這個(gè)數(shù)就是雙數(shù)；有一個(gè)黑點(diǎn)多出來的，那么這個(gè)數(shù)就是單數(shù)。

請幼兒在自己制作的瓢蟲上嘗試，看看從1到10中，哪幾個(gè)數(shù)是雙數(shù)，哪幾個(gè)數(shù)是單數(shù)，并把結(jié)果記錄在記錄紙上。

2集體學(xué)習(xí)，進(jìn)行糾正

教師在大瓢蟲上演示過程，幫助幼兒核對、糾正。

總結(jié)：1、3、5、7、9是單數(shù)；2、4、6、8、10是雙數(shù)。

提問：我們身體上什么是單數(shù)，什么是雙數(shù)？

3.游戲

教師任意出示110內(nèi)的一個(gè)數(shù)字卡，幼兒識別是單數(shù)還是雙數(shù)，然后用動作表示。如：單數(shù)拍手，雙數(shù)跺腳。

單數(shù)雙數(shù)課件 篇4

活動目標(biāo)：

1、認(rèn)識10以內(nèi)單、雙數(shù)，引導(dǎo)幼兒理解單雙數(shù)的實(shí)際意義。

2、幼兒在不斷操作嘗試過程中體驗(yàn)成功的快樂，激發(fā)幼兒學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3、發(fā)展幼兒對數(shù)的辨別能力和快速反應(yīng)能力。

活動準(zhǔn)備：

1、每人一個(gè)小碗，內(nèi)有操作材料：黑白圍棋子若干，記錄紙每人兩張，記號筆每人一支。

2、ppt，筆記本，小黑板兩塊，笑臉和哭臉圖標(biāo)各一個(gè)，寫著單數(shù)和雙數(shù)的圖標(biāo)各一個(gè)，寫數(shù)字用的便簽紙，車牌號，小橋，單號和雙號牌各一個(gè)。

活動過程：

一、引出：請小朋友做小科學(xué)家，一起來探索一下數(shù)字的秘密?？凑l能通過自己的探索，發(fā)現(xiàn)其中的秘密。

二、幼兒操作

1、介紹操作材料：林老師為每位小朋友準(zhǔn)備了一份操作材料。里面有黑白兩色的圍棋子，請你分別給它們排好隊(duì)數(shù)一數(shù)各有幾顆，然后在兩張白紙上分別記下它們的數(shù)量。接下去，還有一樣任務(wù)，就是請你們分別給它們找好朋友，兩個(gè)兩個(gè)放在一起配配對，如果最后發(fā)現(xiàn)有一個(gè)單獨(dú)找不到朋友的，請?jiān)跀?shù)字下面畫上一個(gè)哭臉，如果最后都能找到朋友，配成對兒的，我們給它畫上一個(gè)笑臉。然后請你分別把你的哭臉和笑臉記錄卡貼到前面的黑板上。

2、兒操作，教師巡回指導(dǎo)。

三、集中，區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。

1、分別看笑臉和哭臉，笑臉這兒是哪些數(shù)字？哭臉這兒又是哪些數(shù)字？

幼兒邊說，教師邊記錄數(shù)字。小結(jié)：笑臉這邊的數(shù)字是兩個(gè)兩個(gè)配對，到最后都能配成對的，我們叫它雙數(shù)；而哭臉這邊的數(shù)字是兩個(gè)兩個(gè)配對，到最后只剩下一個(gè)單的不能配成對的，我們把這個(gè)數(shù)字叫做單數(shù)。

2、ppt展示，集體區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。

3、變臉游戲，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列中單雙數(shù)間隔的秘密。你發(fā)現(xiàn)了什么？

4、在身體上尋找分別以單、雙數(shù)形式存在的器官及物體。

四、區(qū)分10以上的單雙數(shù)。

1、女孩子的人數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)，并想辦法驗(yàn)證。用配對的方法，兩兩抱一抱。（女孩11名，為單數(shù)）

如果加上林老師呢？有幾位？是單數(shù)還是雙數(shù)？你是怎么知道的？

2、集體說出更多的單雙數(shù)，發(fā)現(xiàn)辨別單雙數(shù)的秘密：看最后一個(gè)數(shù)字，如果是單數(shù)，那整個(gè)數(shù)字就是單數(shù)，如果是雙數(shù)，那整個(gè)數(shù)字就是雙數(shù)。

3、區(qū)分幼兒學(xué)號的單雙數(shù)。（3、4、5、8、10、11、13、14、15、17、18、20、22、23、26、28、29、30、32、34）

1）請13號站到前面，請大家說說他的學(xué)號是單號還是雙號？你是怎么知道的？

2）請剩下的幼兒說說自己的學(xué)號，集體判斷是不是雙號？幫助個(gè)別幼兒糾正。

五、請小科學(xué)家們解決一個(gè)生活中的難題。游戲：按單雙號過橋。

1、提問：由于現(xiàn)在汽車越來越多，而寧波甬江上的橋數(shù)量有限，怎樣讓車輛不擁擠順利過橋呢？能不能用我們今天學(xué)的單、雙數(shù)的知識來解決這個(gè)問題呢？

人們想到了一個(gè)辦法，就是單數(shù)日子時(shí)只能讓單牌號的車過橋，雙數(shù)日子時(shí)只能讓雙牌號的車過橋。

2、看ppt，區(qū)別車牌的單雙數(shù)。

3、游戲：每位幼兒一個(gè)車牌號，按教師出示的日期按單雙號過橋，教師當(dāng)警察，在橋邊檢查過橋車輛。

4、結(jié)束游戲：單牌號車請到單號停車場休息，雙牌號車請到雙號停車場休息。請相互檢查車輛停放是否正確。

活動延伸：

帶領(lǐng)幼兒到生活中尋找以單數(shù)或雙數(shù)形式存在的物體。

單數(shù)雙數(shù)課件 篇5

活動目標(biāo)：

1．幼兒通過操作及游戲能較熟練地分辯10以內(nèi)的單數(shù)、雙數(shù)。

2．培養(yǎng)幼兒思維的靈活性，提高幼兒在數(shù)學(xué)活動中的分析和總結(jié)能力。

3．幼兒在游戲中體驗(yàn)參加數(shù)學(xué)活動的樂趣。

4．培養(yǎng)幼兒的嘗試精神，發(fā)展幼兒思維的敏捷性、邏輯性。

5．培養(yǎng)幼兒相互合作，有序操作的良好操作習(xí)慣。

活動準(zhǔn)備：

小動物、背景圖、幼兒操作紙、筆活動過程：

1．創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)興趣。

（1）一年一度的動物狂歡節(jié)開始了，森林里的動物都來參加了，我們來看看有哪些小動物來參加了？它們各自有幾個(gè)？

（2）幼兒分別說出每個(gè)動物的數(shù)量。

2．自主參與，探索新知：（1）進(jìn)入綠、紅色通道的要求：狂歡節(jié)的管理員說，這次動物這么多，需要分批進(jìn)入，首先綠色通道的是一種動物里能兩個(gè)兩個(gè)結(jié)對的可以優(yōu)先入場。教師先示范小動物兩兩結(jié)對找出單雙的`方法：依次了解2個(gè)兔子、10只猴子、8只豬、4只公雞、6條蛇。

（2）還有一些一種動物里剩下一個(gè)的要從紅色通道進(jìn)入，他們分別是：7只鳥、1只老虎、三只小老鼠、9只蝴蝶、5只松鼠。

（3）還有很多小動物想?yún)⒓?，管理員說忙不過來，請小朋友來幫忙。

（4）幼兒操作，根據(jù)能力操作材料的分配，圈完貼上墻。

（5）教師總結(jié)：兩個(gè)兩個(gè)找朋友，到最后剩下一個(gè)，孤孤單單沒有朋友，這樣的數(shù)叫單數(shù)；兩個(gè)兩個(gè)找朋友，最后都有朋友，沒有剩下，這樣的數(shù)叫雙數(shù)。教師進(jìn)行校對3．游戲鞏固：

（1）小動物們都區(qū)分了單雙數(shù)，邀請幼兒一起前往，進(jìn)入單雙數(shù)的舞池，幼兒站立到單雙數(shù)的舞池中（再次確定幼兒是否掌握）（2）游戲"抱雙，躲單"。

老師報(bào)10以內(nèi)的數(shù)，幼兒做相應(yīng)的躲和抱的動作。如：報(bào)的是單數(shù)，幼兒蹲下，雙手合并放在身子的兩邊，表示孤單的樣子，報(bào)的是雙數(shù)，幼兒找到一個(gè)朋友抱抱。

4．在游戲中結(jié)束活動。

活動反思：

《認(rèn)識10以內(nèi)單雙數(shù)》是一個(gè)數(shù)學(xué)活動，其主要目標(biāo)是：初步理解單數(shù)與雙數(shù)的含義。學(xué)習(xí)區(qū)分10以內(nèi)的單數(shù)和雙數(shù)。如何將枯燥無味的數(shù)學(xué)活動融入孩子的生活，激發(fā)孩子對數(shù)學(xué)活動的興趣，是數(shù)學(xué)活動的主要目標(biāo)。教育家陳鶴琴先生曾經(jīng)說過：“游戲時(shí)幼兒的生命”，我設(shè)計(jì)的這個(gè)活動，拋開了以往陳舊的教學(xué)模式，整個(gè)活動以游戲貫穿，讓孩子在快樂的游戲中區(qū)分10以內(nèi)的單數(shù)和雙數(shù)?；顒又?，我通過設(shè)計(jì)了“2元超市”購物的情景。讓幼兒在富有生活氣息購物活動中感知理解單雙數(shù)的概念，在操作中區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)。并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展，啟發(fā)幼兒尋找身上哪些器官的個(gè)數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)。在一系列活動中循序漸進(jìn)、富有挑戰(zhàn)性的游戲中促進(jìn)了幼兒對單雙數(shù)概念更深刻的理解。孩子們在輕松愉快的氛圍中學(xué)會了10以內(nèi)的單雙數(shù)。

在取得成功的同時(shí)也存在一些不足，在活動中幼兒與老師的交流多了，幼兒與幼兒之間的交流少了，不能很好的進(jìn)行交流與溝通，這一點(diǎn)在以后教學(xué)中會多加注意。

總之，整堂課下來，課堂氛圍很好，幼兒也很投入，回答問題也很積極，幼兒都表現(xiàn)出濃厚的興趣，并積極投入到探索活動中來。

單數(shù)雙數(shù)課件 篇6

活動目標(biāo)：

1、通過操作、游戲，要求幼兒能迅速區(qū)別出10以內(nèi)的單數(shù)、雙數(shù)。

2、幼兒的動手、分辨能力，發(fā)展幼兒思維的靈活性。

活動準(zhǔn)備：

幾何圖形掛件一人一個(gè)，數(shù)字卡片，演示教具，魔術(shù)卡每人一張

活動過程：

一、帶幼兒進(jìn)知識宮，激發(fā)幼兒的興趣。

師：今天老師要帶小朋友到知識宮去玩。在知識宮，老師要給小朋友好多禮物，但這些禮物一定要小朋友動腦筋才能夠得到。第一份禮物需根據(jù)自己掛著的圖形和圖形上的數(shù)字找座位，找到了，這個(gè)圖形就作為第一份禮物送給你們。

二、復(fù)習(xí)單數(shù)和雙數(shù)。

1、通過觀察，繼續(xù)感知什么是單數(shù)，什么是雙數(shù)。

師：小朋友真聰明，都找到了座位。（演示教具）大家仔細(xì)看一看上面有些什么，他們排隊(duì)有什么不同。（6條魚，5只烏龜）

幼兒回答，教師歸納。

2、思考：你們掛著的圖形上哪些數(shù)是單數(shù)，哪些數(shù)是雙數(shù)？

3、游戲：抱一抱

（1） 規(guī)則：教師任一出示110中的一個(gè)數(shù)字，幼兒根據(jù)數(shù)字做相應(yīng)的動作。（單數(shù)自己抱一抱，雙數(shù)兩個(gè)人抱一起）

單數(shù)雙數(shù)課件 篇7

活動目標(biāo)：

1、通過幼兒嘗試操作，能熟練區(qū)分10以內(nèi)的單、雙數(shù)。

2、培養(yǎng)幼兒從身邊事物中發(fā)現(xiàn)單雙數(shù)的能力。

3、培養(yǎng)幼兒比較和判斷的能力。

4、發(fā)展幼兒邏輯思維能力。

5、引發(fā)幼兒學(xué)習(xí)的興趣。

活動準(zhǔn)備：

1、課件、音樂《小樹葉》、玩具小火車。

2、幼兒分組操作材料（樹葉、小貓小狗圖片、紐扣、瓶蓋）

重點(diǎn)難點(diǎn)：

正確區(qū)分10以內(nèi)的單雙數(shù)，知道兩相配的是雙數(shù)，余下的一個(gè)不能兩兩相配的是單數(shù)。

活動過程：

一、以歌曲導(dǎo)入活動，激發(fā)幼兒興趣。

二、學(xué)習(xí)新知，讓幼兒找出10以內(nèi)的單數(shù)、雙數(shù)。

1、出示掛圖，讓幼兒感知什么是單數(shù)，什么是雙數(shù)。

2、幼兒分組操作（小貓小狗圖片、紐扣、瓶蓋廢舊品），嘗試區(qū)分10以內(nèi)的單、雙數(shù)。

三、開火車體驗(yàn)學(xué)數(shù)學(xué)快樂，結(jié)束教學(xué)。

活動反思：

首先我以歌曲導(dǎo)入活動，激發(fā)幼兒興趣，自然導(dǎo)入新知，其次我運(yùn)用課件讓幼兒學(xué)習(xí)新知，最后我引導(dǎo)幼兒進(jìn)入操作區(qū)鞏固新知。